Transformation of Random variable(랜덤변수의 변환)

랜덤변수 X를 위와 같이 전달함수 g(X)를 이용하여 Y로 변환한다면, 이 새로운 랜덤변수 Y의 pdf는 어떻게 구할 수 있으며 기존의 랜덤변수 X의 pdf와는 어떠한 관계가 있을지에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

만약 g(X)가 X와 Y에 관한 단조함수(일대일대응)면 어떻게 될까요? 간단하게 g(X)가 단조증가함수 일 때의 X,Y 그래프를 그려보겠습니다.

 

g(X) : 단조증가함수

g(X)가 단조증가함수라면, X의 작은값부터 Y의 작은값으로 매칭되며 하나의 X에대해 단 하나의 Y만 매칭되게 됩니다.(일대일대응) 따라서 Y의 특정 구간에 해당하는 확률과 X의 특장 구간에 해당하는 확률이 같아지게 됩니다. 간단히 예를들면, g(X)가 Yg(X)X+2라면, 랜덤변수 X가 1일확률은 랜덤변수 Y가 3일 확률과 같은것은 당연한 것 입니다. 이를 식으로 써서 Y의 pdf를 구해보면 다음과 같습니다.

 

Y의 pdf공식

그렇다면 g(x)가 일대일대응이긴 하지만 단조증가가 아닌 단조감소함수이면 어떻게될까요?

 

g(X) : 단조감소함수

이렇게 단조감소함수가 되어버리면, 위의 pdf공식엔 변화가 없습니다. 여전히 일대일 대응이기 때문입니다. 그러나 단조감소에선 X가 증가할 때 Y가 감소하므로 cdf에 변화가 생깁니다.

 

따라서 단조감소함수에선 X의 cdf와 Y의 cdf간엔 다음과 같은 관계가 성립하게 됩니다.

 

g(X) : 단조감소함수 , cdf

단조증가함수일 땐 단순히 둘의 cdf는 같지만, 위와 같이 단조감소함수일 땐 달라집니다. 만약 랜덤변수 X가 연속적이라면 위 결과식의 맨 오른쪽 확률 P(X)는 0으로 계산될 것이며, 만약 이산적이라면 값을 넣어서 계산해주어야 할 것 입니다. 그렇다면 예제를 한번 풀어보겠습니다.

 

예제1

먼저 g(X)는 a가 양수인지 음수인지에 따라 단조감소, 혹은 단조증가함수가 될 것입니다. 또한 위와같은 변환은 선형변환이라 할 수 있습니다.. pdf는 단조증가나 단조감소에 영향을 받지 않으므로, Y의 pdf를 위에서 구한 공식을 이용하여 X의 pdf에 대해 써보면 다음과 같습니다.

 

Y의 pdf

a가 음수이거나 양수일 수 있지만 pdf는 항상 같습니다. 그렇다면 Y에대한 cdf도 한번 X에 대한 cdf식으로 써본다면 다음과 같습니다.

 

Y의 cdf

이제 위에서 구한 pdf에 값을 대입해서 써보겠습니다.

 

랜덤변수 X와 마찬가지로 선형변환한 Y도 가우시안 랜덤변수 형태의 pdf를 얻을 수 있었습니다. 따라서 선형변환을 하면, 특성이 그대로 유지된다는 것을 확인할 수 있습니다. 랜덤한 현상들이 중첩되면 가우시안 랜덤변수가 된다고 했었는데, 신호의 잡음 같은 경우에도 랜덤한 현상이라 볼 수 있으며 가우시안 랜덤변수로 나타낼 수 있습니다. 따라서 위와 같은 결과를 이용하여 선형필터를 만들어 a의 제곱값을 낮춰주면 분산이 작아지고 잡음을 줄일 수 있습니다.

 

이제 g(X)가 단조함수가 아닌, 즉 일대일대응이 되지 않는 함수일 때 Y의 pdf와 cdf를 어떻게 구할 수 있는지 알아보겠습니다.

단조함수가 아닐경우, 구간을 단조함수구간인 단조증가와 단조감소들로 나누어 따로 계산해주어야 합니다. 간단한 예제만 하나 풀어보면 금방 이해를 할 수 있습니다.

 

예제2

g(X)는 포물선의 형태를 가지므로 단조감소함수와 단조증가함수로 나눌 수 있습니다. 먼저 X에 대해 Y를 풀어주면 다음과 같습니다.

 

하나의 y에 대해 2개의 x값이 존재하게 되며, x.1은 단조증가구간값이고 x.2는 단조감소구간값입니다. 이제 pdf를 써보면 다음과 같습니다.

 

pdf

cdf도 한번 구해보면 다음과 같습니다.

 

cdf

마지막으로 a1, b0, c0일 때, Y의 pdf를 계산해보겠습니다.

 

결론적으로 위와 같이 Y의 pdf가 계산됩니다. 하나만 풀면 아쉬우니 하나만 더 풀어보도록 하겠습니다.

 

이번엔 랜덤변수 X의 pdf가 따로 주어졌습니다. 먼저 구간을 나누고, Y의 pdf를 표현해보면 다음과 같습니다.

 

이제 X의 pdf의 구간에 대해 Y의 pdf의 구간을 결정해 주어야 합니다.

 

위와 같이 구간을 결정하고 나면 최종적으로 우리는 3가지 구간에 대한 값을 구해낼 수 있습니다.

 

결론적으로 단조함수가 아닐 땐, 구간을 잘 나누어 주어 계산을 해야한다는 것을 확인할 수 있었습니다.

 

 

집적회로에서 가장 기본적인 gain cell(이득 소자)는 다음과 같이 전류원을 부하로 가지는 Common Source Amplifier일 것 입니다.

 

Basic gain cell

위와 같이 independent current source를 부하로 가진다면, 부하의 임피던스가 무한대가 되므로 유한한 저항을 사용하는 것에 비해 훨씬 높은 gain을 얻을 수 있습니다. 이와 같은 부하를 Active load라고 합니다.

 

그렇다면 위 증폭기의 입력임피던스, 출력임피던스, gain을 구해보겠습니다.

 

위 회로의 gain을 intrinsic gain이라고 하며, 증폭기가 얻을 수 있는 최대 이득을 뜻합니다. 트렌지스터의 성능을 비교할 땐 주로 intrinsic gain을 가지고 비교를 하는데, 그 이유는 intrinsic gain은 trans-conductance와 출력저항으로 이루어져 있는데 이 두 값이 높을수록 좋기 때문입니다. 만약 같은 size라면 BJT가 MOSFET보다 더 높은 intrinsic gain을 가지지만, MOSFET의 size가 훨씬 작고 size가 줄어들 수록 trans-conductance의 값이 높아지므로 MOSFET이 많이 사용되는 것 입니다.

 

그런데 위와 같은 기본적인 이득소자의 전류원은 이전에 배웠듯 MOSFET을 가지고 Reference와 current mirror(sink)를 구성하여 집적회로에서 구현할 수 있습니다. 그런데 이렇게 실제 구현을 하면 다음과 같이 ideal하게 전류원만 부하에 달 수가 없습니다.

 

실제 MOSFET으로 전류원을 구성하게 되면, 위와 같이 Current sink의 출력저항까지 함께 보여지게 됩니다. 따라서 위와 같이 실제 경우에 대한 gain을 구해보면 다음과 같습니다.

 

전류원의 임피던스는 무한대이므로 사라지고 위와 같이 gain이 구해집니다. 만약 두 출력저항의 값이 같다면 gain이 최대 반까지 줄어들게 되어버립니다. 따라서 우리는 이러한 기본적인  이득 소자의 gain을 높혀줄 필요가 있습니다. gain을 높이기 위해선 간단하게 3가지 방법이 존재할 것 입니다.

 

1번의 경우 이미 무한대의 입력 임피던스를 가지고 있으며, 2번의 경우 트렌지스터를 만들 때 부터 결정되는 특성이므로 반도체를 하는 사람이 해결해야할 문제입니다. 3번이 유일한 희망인데, 전류원의 값을 건드리지 않으면서 Amplifier의 출력 임피던스를 키울 수 있는 방법이 필요할 것 입니다. 그러한 방법이 바로 Cascoding 입니다.

 

Cascoding이란, 기본 이득소자인 Common Source Amplifier 위에 Common Gate Amplifier를 쌓는 방법인데 회로를 보면 다음과 같습니다.

 

Cascode Amplifier

위와 같이 기본 이득 소자 위에 CG Amplifer를 쌓아올리면 일단 흐르는 전류는 변하지 않을 것 입니다. 그렇다면 출력임피던스가 정말 증가하는지, 출력임피던스가 증가한다면 gain은 얼마나 상승하는지 알아보겠습니다.

 

두개의 Amplifier을 하나의 Amplifier처럼 해석한다면 해석이 편리하게 진행됩니다. 출력임피던스는 부하저항 r.o3와  부하에서 CG Amplifier의 출력임피던스와의 병렬값 일 것 입니다. 따라서 부하에서 CG Amplifier를 바라본 임피던스를 구해야합니다. CG Amplifier 입장에서 CS Amplifier를 하나의 독립전류원과 저항처럼 볼 수 있는데, 독립전류원의 임피던스는 무한대이므로 CS Amplifier의 출력저항이 보일 것 입니다. 따라서 CG Amplifier에서 입력단(Source)에 저항이 달린 상태에서의 출력단(Drain)에서 MOSFET을 바라본 임피던스를 구하는 것과 같이 회로를 해석할 수 있습니다. 우리는 이런 회로를 이전에 해석했었습니다. 결과는 다음과 같습니다.

 

이전 포스팅 모델링 & 계산과정

 

결과

Amplifier의 출력임피던스가 위와 같이 증가하는 것을 확인할 수 있습니다. 그렇다면 기본 이득소자의 intrinsic gain과 Cascode Amplifier의 intrinsic gain을 한번 비교해보겠습니다.

 

만약 r.o1과 r.o2가 같다면, intrinsic gain이 제곱으로 늘어나는 것을 확인할 수 있습니다. 트렌지스터의 size를 줄이면 출력저항이 줄어듭니다. 따라서 Cascode Amplifier를 많이 사용하며 굉장히 중요하다고 할 수 있습니다.

 

이제 Cascode Amplifier의 gain을 써보면 다음과 같습니다.

 

같은 방법으로, 부하의 Current Source와 출력저항 r.o3로 모델링 되어있는 current sink또한 Cascoding 해주면 r.o3의 값도 키울 수 있으므로 더 큰 Gain을 얻을 수 있습니다. 또한 위와 같이 Cascoding을 한 Amplifier에 한번 더 Cascoding을 한 것을 Double Cascoding이라고 합니다. 이렇게 Double Cascoding을 하게 되면 Gain은 늘어나 좋지만, size가 늘어나고 Saturation region에서의 동작을 유지하기 위해 Drain voltage가 많이 필요하게 되어 Ouput voltage의 range가  제한적이게 됩니다. 따라서 잘 사용하지 않습니다.