Electron & Hole Concentrations at Equilibrium(평형상태에서의 전자 & 정공 농도)

캐리어농도의 온도의존성을 알아야 하는 이유는 간단히 말해면 도핑때문입니다. 대부분의 전자소자에선 도핑에 의해 캐리어 농도를 조절하고 싶어 합니다. 그러나 온도가 매우 높아진다면 intrinsic carrier concentration(진성캐리어농도, n.i)가 도핑에 의한 캐리어 농도(N.d or N.a)보다 높아지게 되어 도핑에 의해 캐리어농도를 조절하는 것이 아닌, 열적인 EHP(전자정공쌍)의 생성에 의해 캐리어농도가 조정되어버립니다. 따라서 진성캐리어농도(n.i)의 온도의존성을 알게 되면 내가 어느정도 도핑을 해주었을 때, 얼마정도의 온도범위에서 도핑에 의한 캐리어농도를 조정이 가능한지 알 수 있게됩니다.

 

그렇다면 진성캐리어농도(n.i)가 온도에 따라 어떻게 변화하는지 알아보겠습니다. 이전에 구한 식들을 이용하여 풀어서 써보면 다음과 같습니다.

 

(수정) 첫번째 식 우변의 kT - 2kT

위와 같이 풀어쓴 식에서, 지수부분의 절대온도 T가 다른 T의 영향을 무시해도 될 만큼 영향력이 크므로, 나머지 부분에서의 T의 변화는 무시해도 무방합니다. 또한 온도변화에 따른 band gap의 변화는 0K~300K사이에 약 0.05eV 밖에 변하지 않으므로 무시해도 됩니다. 이러한 조건들을 적용하고 실리콘(Si)에 대해 Y축을 log scale로, X축을 1000/T로 잡고 그래프를 그려보면 다음과 같습니다.

 

실리콘의 진성캐리어농도와 온도그래프

위와 같이 그래프가 그려지게 됩니다. 온도가 증가할 수록 진성캐리어농도가 가파르게 증가한다는 것을 확인 할 수 있습니다. 이제 위 실리콘의 진성캐리어 농도와 온도의 그래프와, n-type으로 도핑한 실리콘의 도너농도(N.d)가 10^15일 때의 그래프를 함께 그려보겠습니다.

 

실리콘에 도너농도 N.d(10^15)으로 n-type도핑을 해주었기 때문에 진성캐리어농도(n.i)가 이 값보다 훨씬 작다면 단순히 평형상태의 전하농도(n.0) 값을 N.d로 근사화 할 수 있습니다. 따라서 위와 같은 경우엔 일정 온도 100K~333K 섭씨로는 -173도~60도 정도 까지는 도핑에 의해 캐리어 농도가 조정됩니다. 그러나 만약, 진성캐리어농도(n.i)가 우리가 도핑해준 농도인 N.d를 넘어서게 되면 진성캐리어 농도는 온도에 따라 매우 가파르게 증가하게 되므로 이전과 반대로 진성캐리어농도(n.i)가 우리가 도핑해준 농도 N.d를 무시할 만큼 커집니다. 따라서 도핑이 아닌, 열적인 EHP(전자정공쌍)의 생성에 의해 캐리어농도가 조정되게 됩니다. 반대로 온도가 매우 낮아지면 진성캐리어농도(n.i)는 지수적으로 급격하게 낮아져 N.d에 비해 항상 무시할 수 있게 되며, 열에너지의 감소로 인해 donor level에서 Conduction band로 올라갈 에너지가 부족하게 되어 전자의농도가 점점 감소하게 될 것 입니다.

 

결론적으로 쉽게 말하면, 도핑을 하지 않은 반도체에선 온도에 비례하여 Valence band에서 Conduction band로 많은 전자들이 올라와 전자와 정공이 동시에 생성되어 진성캐리어농도(n.i)가 지수적으로 증가하게 되는데 만약 반도체의 캐리어농도를 조정하기 위해 도핑을 하였다면 해당 도핑농도보다 진성캐리어농도가 더 높아지면 도핑을 한 의미가 사라지므로 결국 위 그래프를 분석하여 어느정도 온도의 구간에서 도핑이 의미를 가지는지 파악해 본 것 입니다.

 

마지막으로, Compensation(보상)과 Space Charge Neutrality(공간전하중성)에 대해 알아보겠습니다.

반도체에 n-type 도핑과 p-type 도핑을 동시에 하였을 때 농도를 어떻게 계산해주어야 할까요?

 

n-type 도핑과 p-type 도핑이 동시에 이루어진 반도체를 Compensated semiconductor라고 하며, donor와 acceptor중 누가 큰지에 따라 둘 사이의 차이를 새로운 도핑 농도로써 정의해 줍니다. 이러한 과정을 Compensation(보상)이라고 합니다. 

 

space charge neutrality(공간전하중성)이란, 평형상태의 반도체는 항상 중성이라는 뜻 입니다. 식을 써보면 다음과 같습니다.

 

평형상태의 반도체는 항상 전기적으로 중성이므로, Valence band의 정공과 Acceptor의 음이온의 합과 Conduction band의 전자와 Donor의 양이온의 합은 항상 같을 것이며 따라서 위와 같은 식이 성립하게 됩니다. Acceptor의 음이온과 Donor의 양이온이라는 말이 햇갈릴 수 있는데, Acceptor같은 경우엔 3족의 원소로써 전자를 받아들여 정공을 생성하는 놈입니다. 따라서 전자를 받아들여 정공을 생성해주면 3족의 원소에 전자가 하나가 추가되어 음이온이됩니다. Acceptor가 생성한 정공과 이에 따라 Acceptor가 음이온이 되는것은 항상 pair로 일어납니다. 또한 Donor도 마찬가지로 5족의 원소로써 전자를 내주는 놈입니다. 따라서 전자를 내주면 전자가 생성되고 자신은 전자하나가 부족하므로 양이온이 되는 것 입니다. 이 또한 항상 pair로 일어납니다. 따라서 위 식을 잘 보면, Donor의 양이온이 증가한다는 것은, 전자를 만들어준다는 것이고 전자를 만들어 주면 전자의 농도가 증가하게 되어 좌변이 증가하면 우변도 증가합니다. 반대로, Acceptor의 음이온이 증가한다는 것은, 정공을 만들어준다는 것이고 정공을 만들어 주면 정공의 농도가 증가하게 되어 마찬가지로 좌변이 증가하면 우변이 증가합니다. 애초에 도핑이 안되어 있을 땐, 정공의 농도와 전자의 농도는 같은 상태이므로 따라서 위 식이 항상 성립한다는 것을 확인 할 수 있습니다.

 

만약 모든 Donor와 Acceptor가 이온화 되어있다면 Donor의 농도와 Acceptor의 농도는 Donor의 양이온의 농도와 Acceptor의 음이온의 농도와 같음은 당연합니다.

 

모든 Donor, Acceptor 이온화

만약 p-type과 n-type으로 동시에 도핑을 하였는데 페르미 레벨이 Conduction band에 가까운 n-type 반도체이고 모든 불순물들이 이온화 되어 있다면 space charge neutrality에 대한 식이 다음과 같이 근사화되어 전자의 농도를 계산할 수 있습니다.

 

결론적으로 위와 같이 전자의 농도가 보상을 해준 형태로 나온다는 것을 확인 할 수 있습니다.

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Electron & Hole Concentrations at Equilibrium(평형상태에서의 전자 & 정공 농도)

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 장용희  2018. 4. 10. 1:49

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우리는 반도체의 전류량을 계산하고 싶으며, 전류량을 계산하기 위해선 전하(carrier)의 농도와 속도가 필요하다고 했었습니다. 따라서 농도를 계산하기 위해 갈수있는 각각의 에너지에 대한 에너지 준위의 수에 각각의 에너지 준위당 전자가 차있을 확률을 곱해서 계산한다고 했으며 각각의 에너지 준위에 전자가 차있을 확률을 알려주는 Fermi-Dirac distribution function을 배웠습니다. 이제 직접 평형상태에서 전자와 정공의 농도를 계산해 보도록 하겠습니다. 평형상태의 반도체란 일반적으로 열적 평형을 이야기 합니다. 구체적으론 반도체가 받은 에너지를 다시 내놓아서 외부의 온도와 반도체의 온도가 같아지는 열적평형을 이루는상태를 말하며, 전자와 정공의 재결합률과 전자의 생성률이 같은 상태입니다.

 

평형상태의 전자농도는 위와 같이 계산할 수 있을 것 입니다. 아래첨자 0은 평형상태임을 나타냅니다. 위 식을 간략히 예를 들어 설명하면, 1번부터 100번까지 주차장이 있을 때, 각각의 주자창이 수용할 수 있는 차량 댓수와, 각각의 주차장에 몇%의 차량이 주차되어있는지를 알고 1번부터 100번 주차장의 두 값들을 곱해서 더해주면 총 자동차 댓수가 구해지는 것 입니다. N(E)은 density of states(상태 밀도)라고 하며 이는 단위 에너지당 상태의 수를 나타내줍니다.[단위 : 갯수/cm3 eV] 따라서 N(E)에 단위에너지 dE를 곱해주면 N(E)dE의 단위는 [갯수/cm3]이 되므로, 에너지영역 dE에 있는 상태의 수의 밀도가 됩니다.  따라서 N(E)dE와 각각의 energy level에 전자가 차있을 확률에 대한 정보를 가지고 있는 페르미 분포함수를 곱하여 적분해주면 위와 같이 농도가 계산될 것 입니다. 

 

 

도핑을 하지 않은 intrinsic(진성) 반도체, n형 반도체, p형 반도체에 대해 E-N(E) 그래프, E-f(E)그래프, 두 그래프를 곱한 그래프를 그려보면 위와 같이 그려집니다. E-N(E)그래프는 3개의 반도체 모두 같으며, 당연히 conduction band와 valence band 사이의 state는 존재하지 않습니다. 위그래프를 보시다 싶이 상태밀도 N(E)는 E와 비례합니다. 그 이유는 간단히 생각해보면 알 수있습니다. 이전에, 하나의 원자에 대한 양자수 n의 에너지의 양자화 식을 한번 살펴보겠습니다.

 

n은 커질 수록 가지는 state수가 많아집니다. 가령 n1이면 1s2 - 2개의 state, n2이면 1s2 2s2 3p6 - 10개의 state 등등, 또한 위 식을 보면 양자화된 에너지 E.n은 n에 비례합니다. 따라서 단순하게 생각해도 N(E)와 E는 비례하는 것을 알 수 있습니다. Conduction band의 상태밀도는 에너지에 따라 증가하게 되며 Valence band에서는그 반대의 결과를 가질것 입니다. E-f(E) 그래프는 이전 페르미준위에 대한 포스팅에서 f(E)-E 그래프를 그렸던 것과 마찬가지로 그려질 것이며, 결국 두개의 곱이 맨 우측 그래프로 나타내지는데 이 그래프를 적분한것이 바로 전자 혹은 정공의 농도가 됩니다.

 

이제 식의 의미를 파악했으니, 직접 위 식을 이용하여 계산을 해보겠습니다. 그런데 위와 같은 적분은 페르미 분포함수가 복잡하여 힘든 적분이 됩니다. 따라서 우리는 근사화를 할 것인데, 먼저 전자의농도를 구하기 위해 Conduction band에 존재하는 모든 에너지 상태를 단하나의 에너지상태 E.c로 환산하여 풀면 적분은 간단하게 풀립니다.

 

이제 적분이 풀렸으니 위 식을 풀어서 써보겠습니다.

 

아직도 식이 너무 복잡합니다. 조금 더 근사화를 해보겠습니다. 페르미 분포함수 분모의 exponential의 지수부분의 분자가 분모보다 훨씬 크다면, exponential 함수의 값은 1보다 더 커지므로 1을 무시할 수 있게 됩니다. 따라서 식을 써보면 다음과 같습니다.

 

전자의 농도

따라서 Conduction band의 전자농도가 위와 같이 구해질 수 있습니다. 그렇다면 effective density of states(N.C)안의 전자의 유효질량을 어떻게 계산해야 되는지 실리콘의 경우를 가지고 계산을 해보겠습니다.

 

유효상태밀도 함수는 온도에 비례하며, 유효질량의 지수부분이 3/2으로 되어 있으므로 우리는 실리콘의 유효질량을 k.x,k.y,k.z방향에 관한 유효질량 3개(m.l,m.t,m.t)의 기하평균 형태로 쓸 수 있으며, 6개의 equivalent한 방향이 존재하므로 6을 곱해야합니다. 만약 direct band gap semiconductor인 GaAs라면, k0에서 Valence band의 최대점과 Conduction band의 최소점을 가져 equivalent한 방향이 존재하지 않으므로, 6을 곱하지 않을 것 입니다.

 

이제 hole의 농도를 구해보겠습니다. hole도 마찬가지로 적분이 복잡하므로 Valence band의 모든 states수를 하나의 state로 환산하여 근사화 하여 풀면 간단하게 적분이 풀립니다.

 

1-f(E)를 해주는 이유는, f(E)는 전자가 차있을 확률이므로 1에 f(E)를 빼주면 전자가 차있지 않을 확률이 되고 그것이 바로 hole이 있을 확률이기 때문입니다. 이제 위 식도 마찬가지로 풀어써서 근사화를 해보면 다음과 같습니다.

 

정공의 농도

우리는 계속 평형상태에서의 전자와 정공의 농도를 구하고 있습니다. 평형상태라면, 다음과 같은 식이 만족한다는 것을 배웠었습니다.

 

평형상태

아래첨자 0은 평형상태를 뜻하며, 아래첨자 i는 intrinsic(고유) 반도체를 뜻 합니다. 즉 위 식의 의미는 평형상태에선 한쪽의 농도를 키워주면 다른 한쪽의 농도는 같은 비율로써 감소하므로 전하농도와 전류농도의 곱은 항상 위와 같이 일정해 진다는 의미를 가집니다. 그렇다면 우리가 구한 평형상태에서의 전자와 정공의 농도를 위 식에 넣고 한번 풀어보겠습니다.

 

위와 같이 진성반도체의 전자농도를 구할 수 있습니다. 또한 진성반도체에선 전자농도와 정공의 농도가 같으므로 정공의 농도는 계산할 필요가 없습니다. intrinsic Si의 경우엔 1.510^10 cm^-3의 캐리어 농도를 가집니다.

 

이제 다시 평형상태의 전자와 정공의 농도의 식을 가져와 보겠습니다.

 

위 식의 페르미 레벨을 진성(intrinsic) 반도체의 페르미 레벨 값으로 바꾸어 두면, 진성반도체의 전자의 농도와 정공의 농도를 구할 수 있습니다.

 

그렇다면, 진성반도체의 전자와 정공의 농도를 각각 유효상태밀도함수(N.c, N.v)로 정리하여 기존의 평형상태의 전자와 정공의 밀도식에 넣어주면 더 편리한 식이 얻어집니다.

 

위와 같은 식은 각각의 유효상태밀도함수(N.c, N.v)를 구해질 필요 없이, 진성반도체의 전자나 정공의 농도만 구하면 되기 때문에 평형상태에서의 전자와 정공의 농도를 구하는 과정이 더욱 간단해 집니다.

 

마지막으로 간단한 예제를 풀어보겠습니다.

 

Solid state Electronic Devices 6th. ex3-6

먼저 실리콘이 intrinsic semiconductor일 때의 전자와 정공의 농도는 다음과 같습니다.

 

As(비소, Arsenic)은 5족원소이므로 n-type 반도체 일 것이며, 값이 진성반도체에서의 정공의 농도보다 훨씬 크므로 recombination을 다 일으키고도 남습니다. 따라서 평형상태에서의 전자의 농도는 다음과 같이 근사화 됩니다.

 

평형상태 전자의 농도

이제 평형상태에서의 법칙을 이용하면 평형상태에서의 정공의 농도를 구할 수  있습니다.

 

평형상태 정공의 농도

마지막으로 평형상태의 정공의 농도 식을 이용하여 두 energy level의 상대적인 위치를 계산할 수 있습니다.

 

역시 n-type 도핑이므로, intrinsic semiconductor의 페르미 레밸 보다 0.407 eV 더 높이 페르미 레밸이 존재한다는 것을 확인 할 수 있었습니다. 이 페르미 레벨의 위치는 중요한 물리적 의미를 가지게 되는데, 페르미 레벨이 증가할 수록 전하농도가 지수적으로 증가하기 때문입니다. 또한 진성반도체에서의 페르미 레밸 또한 캐리어의 농도를 구하는데 유용한 정보를 준다는 것 또한 잊지 말아야 할 것 입니다.