Continuous-time Fourier transform(CTFT) for Aperiodic signal(비주기신호의 푸리에변환)

Fourier transform는 Fourier Series와는 달리, Aperiodic signal(비주기 신호)를 주파수 영역에서 분석할 수 있게 해줍니다. 기본적인 아이디어는 비주기함수를 주기가 무한대인 주기신호로써 본다는 점에 있습니다. 비주기함수는 주기가 무한대인 주기함수이다 라는 말엔 쉽게 동의할 수 있습니다. 비주기함수를 주기가 무한대인 주기신호로써 본다면 반대로, 주기신호의 주기를 무한대로 늘린다면 비주기 신호라고 볼 수 있을 것 입니다. 그렇다면, 사각파 주기신호의 주기를 점점 늘렸을 때, y축을 Fourier Series Coefficient와 T(주기)의 곱, x축을 정수배 k로한 그래프 변화를 살펴보도록 하겠습니다.

 

주기함수의 주기 T : 1배~200배

따라서 우리는 위와 같이 주기함수의 주기를 점점 늘려주는 과정을 통해 주기함수는 일정한 정수배의 주파수인 harmonic(고조파)에서만 값을 가지고 있었지만, 주기가 더더욱 늘어나 비주기함수가 된다면, 일정한 정수배의 discrete한 frequency에 대한 결과가 아닌 Continuous 하게 각각의 frequency에 대해 값을 가질 수 있다는 것을 확인할 수 있습니다. 주기가 늘어나면 주파수는 감소하므로 결국 고조파(harmoci, k*w.0k*2*pi/T)의 간격이 점점 줄어들게 되어 continuous하게 보이는 것 입니다. 즉, Fourier Series coefficient에 주기(T)를 곱하고, 각 값들을 연속적으로 연결해준 envelope이 비주기신호의 주파수영역을 분석하게 해주는 Fourier Transform이라는 것을 유추할 수 있습니다. 비주기신호는 주기가 무한대인 신호이며, 이러한 비주기신호를 주파수영역에서 분석해보면 주기신호에선 고조파에 대한 결과가 나왔으나 비주기에선 Continuous한 frequency로 변화합니다. 이제 이러한 과정들을 수학적으로 표현해보겠습니다.

 

기존의 CTFS(Continuous-time Fourier Series)의 Fourier coefficient를 구하는 식에 비주기함수를 x(t)를 이용하여 식을 썼습니다. 만약 x(t)가 비주기함수라면, 적분구간이 마이너스 무한대부터 무한대까지라고 써도 무방할 것 입니다.

 

이제 여기서 envelope인 Ta.k를 Fourier Transform이라고 하며 다음과 같이 define 됩니다.

 

위 식이 바로 비주기함수를 주파수영역에서 분석할 수 있도록 해주는 Fourier Transform 입니다. 반대로 비주기함수 x(t)는 다음과 같이 정의 될 수 있습니다.

 

결론적으로 우리는 비주기함수의 주파수영역을 분석해주는 Fourier Transform과 그 Fourier Transform을 자기고 시간영역의 비주기함수로 다시 돌아오는 Inverse Fourier Transform의 결과를 다음과 같이 얻을 수 있었습니다.

 

 

마지막으로 Fourier Transform과 CTFS Fourier coefficient의 관계를 조금 더 자세히 살펴보겠습니다.

 

이미 위와 같은 관계가 있다는 것을 확인 했었습니다. 그렇다면 위 식이 가지는 의미가 무엇일까요. 먼저 위식의 우변을 보면 Fourier transform을 harmonic(고조파)에 대해서 sample을 한 값을 가집니다. 따라서 결론적으로 첫번째 graphic simulation의 설명에서 말했듯, Fourier series coefficient에 T(주기)를 곱한 continuous한 envelope이 Fourier Transform이였던 것처럼, 반대로 Fourier Transform의 harmonic들만 sample해서 1/T를 곱해준 것이 Fourier series coefficient라는 것을 알 수 있습니다.