Conductivity and Mobility(전도도 & 이동도)

우리가 결론적으로 알고싶은건 반도체의 전류밀도 J이며, 이것을 계산하기 위해 여태까지 농도를 어떻게 구해야 하는지 알아보았습니다. 이제 농도의 계산은 모두 끝이 났으니 전하의 속도에 대해 알아보겠습니다.

 

Maxwell 시절엔 전류를 통해주는 물질이 금속뿐이였습니다. 즉 오직 전자에 의한 전류의 흐름밖에 존재하지 않았습니다. 따라서 Conductivity(전도도)라는 개념 하나만 가지고 전류의 흐름을 해석할 수 있었으며 이는 미시적인 옴의법칙으로 표현됩니다.

 

위 식을 통해 Conductivity(전도도)란, 전기장의 세기와 전류밀도간의 비례상수라는 것을 알 수 있으며 전도도가 클 수록 전류가 더 많이 흐른다는 것을 알 수 있습니다. 그런데, 반도체에선 hole 또한 전류를 흘려줍니다. 따라서 이 Conductivity에 2가지 성분이 생겨버리게 되며 Conductivity라는 개념 하나로는 이 2가지를 분석하기는 힘듭니다. 따라서 새로 mobility(이동도)라는 개념을 새로 도입한 것 입니다.  이동도는 전자의 이동도와 정공의 이동도로 나누어집니다. 전자의 속도에 대한 식을 먼저 유도해보며 이 mobility의 의미를 파악해보겠습니다.

 

먼저, 전기장 E가 x방향으로 가해졌을 때, 전자가 받는 힘은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

힘은 운동량의 변화량이므로 위와 같이 식이 세워집니다.  이 전자들은 Crystal 내의 Lattice의 atom들이 열에의해 진동을 하면 이 atom과 충돌해 운동에너지를 모두 잃어버리고 방향이 바뀌며, 양이온과 이끌려 충돌하게되고 운동에너지를 모두 잃어버리고 방향이 바뀌게 됩니다. 이러한 현상을 Scattering(산란) 이라고 하는데 나중에 자세히 다루도록하겠습니다. 결국 전자들은 이러한 충돌들에 의해 운동에너지를 계속 잃어버리고 random하게 움직일 것 입니다. 충돌로 인한 운동량의 변화량은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

충돌로 인한 운동량의 번화량

Steady state(정상상태) 라면, 전기장에 의한 전자의 가속과 충돌로인한 전자의 감속이 균형을 맞출 것이므로 가속과 감속의 효과의 합은 0입니다. 따라서 이를 식으로 써보면 다음과 같습니다.

 

위 식을 정리하면 각 전자당 평균운동량을 계산할 수 있습니다.

 

또한 운동량은 질량과 속도의 곱이므로, 각 전자의 유효질량을 이용하여 전자당 평균 drift velocity(표동속도)를 구할 수 있습니다. 여기서 drift는 field에 의해 움직인다는 의미입니다.

 

따라서 우리는 전류밀도를 다음과 같이 구해낼 수 있게됩니다. 또한 Conductivity를 다음과 같이 쓸 수있습니다.

 

Conductivity

그렇다면 mobility(이동도)는 무엇일까요? 이동도는 전자의 평균 drift velocity속에 숨어있습니다.

 

따라서, mobility는 전기장의 세기와 평균 drift velocity의 비례상수이므로, 반도체 내에서 전하가 얼마나 빠르게 움직이고 있는지에 대해 알려주는 중요한 물리량입니다. 따라서 mobility는 클수록 좋습니다. 특히 display를 만들기 위해선 픽셀하나하나를 트렌지스터로 만들어 1/30초 정도 마다 업데이트를 시켜주어야 하기 때문에 mobility가 굉장히 빠른 트렌지스터가 필요할 것 입니다. 위식에서 전자의 유효질량을 정공의 유효질량으로만 바꾸어 주면 정공의 mobility도 계산됩니다.

 

결론적으로, 반도체의 전류밀도는 다음과 같이 계산됩니다.

 

반도체의 전류밀도 계산식

이제 mobility에 포함되어 있는 유효질량을 어떻게 계산해야 하는지에 대해 알아보도록 하겠습니다. 이 유효질량은 Conductivity effective mass라고 하며 실리콘의 경우엔 다음과 같이 구할 수 있습니다.

 

전류의 움직임은 k-space가 아닌 real space에서 고려하므로, valley에 의한 영향인 6을 곱하지 않고 위와 같이 각각의 질량들의 영향을 조화평균으로써 간단히 구해낼 수 있습니다.

 

그런데 한가지 드는 의문점은 effective mass는 전하를 classical particle로 보기 위해 정의한 것이며, classical particle은 힘을 받으면 가속도운동을 해야합니다. 그러나, 옴의법칙을 사용하였고 이는 가속도 운동이 아닌 등속도운동입니다. 이는 뉴턴의 법칙을 위배하는 것인데, 그렇다면 옴의법칙과 뉴턴의법칙중 어떠한 법칙이 맞는걸까요? 전자가 충하기 전까지 가속도 운동을하다 운동량을 계속 잃어버렸다고  생각한다면 이를 등속도운동이라 볼 수 있습니다. 따라서 만약 충돌이 일어나지 않았다면 전자는 계속 가속도운동을 했을 것 입니다. 이러한 모델을 Drude model이라고 하며, 이 모델이 성립하려면 충돌이 자주 일어나야 한다는 것을 알 수 있습니다.