Differential Amplifier(차동증폭기) Small signal, Differential gain, CMRR(Common mode rejection rate)

Differential Amplifier의 기본 구조는 위와 같았으며, 지난 포스팅에서 위 Amplifier가 동작하기 위한 Common mode voltage V.CM의 range와 Differential Amplifier의 사용이유에 대해 알아보았습니다. 이번 포스팅에선 AC인 Differential mode voltage v.id의 range를 구해보고, 위 회로를 Small signal model을 분석하여 Differential gain을 구하고 CMRR(Common mode rejection rate)에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

Differential mode voltage v.id의 range를 구하기 위해 Common mode voltage는 모두 떼어버리고 두 트렌지스터중 한쪽의 트렌지스터에만 v.id를 모두 걸어주어 한쪽에만 전류가 흐르는 상황을 가정해보겠습니다.

 

위와 같이 왼쪽 트렌지스터의 입력에만 Differential mode voltage를 모두 걸어주고 오른쪽 트렌지스터에는 전류가 흐르지 않는 상황을 가정해보았습니다. 우리가 구하고 싶은것은 Differential mode voltage v.id의 range이며 위 상황에서의 v.id값은 Maximum 값일 것 입니다. 전류가 왼쪽 트렌지스터에만 흐르므로 전류원의 값 I가 모두 왼쪽 트렌지스터에만 흐르게 될 것이며 v.id값은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

위의 수식은 너무나도 당연한 결과입니다. 이제 위 식에서 v.GS와 v.S의 값만 결정하면 Differential mode voltage의 range를 정할 수 있습니다. 먼저 v.GS를 MOSFET의 i-v equation을 이용하여 구해보면 다음과 같습니다.

 

다음으로 v.S값을 구해보겠습니다. 오른쪽 트렌지스터와 Source의 전압을 공유하고 있으므로 오른쪽 트렌지스터의 전류가 0이 되야 한다는 조건을 이용하면 v.S의 값을 구할 수 있습니다.

 

결론적으로 Differential mode voltage의 range는 다음과 같이 구해집니다.

 

 

이제 Small signal model을 분석하여 differential gain을 구해보도록 하겠습니다. differential gain은 differential amplifier의 gain을 뜻합니다.

 

기본회로 & Small signal model

기본 구성회로에서 DC성분을 모두 제거한 Small signal model 입니다. 이전과 drain current, trans-conductance 등을 구하는 공식들을 변함이 그대로 사용하면 되며, small signal parameter를 구하기 위한 DC성분의 값들을 간단하게 구해집니다. 특히 두 트렌지스터의 입력에 같은 DC전압(Common mode voltage)이 걸려있으므로 각각의 트렌지스터는 전류원 I의 절반씩에 해당하는 DC전류가 흐르므로 DC성분의 값들을 손쉽게 구해낼 수 있습니다.

 

그렇다면 먼저 전류의 흐름부터 파악해 보도록하겠습니다. 왼쪽 트렌지스터의 입력은 +전압이, 오른쪽 트렌지스터의 입력은 -전압이 들어오고 있습니다. 따라서 전류의 흐름은 다음과 같이 결정될 것 입니다.

 

전류의 흐름

따라서 두 트렌지스터의 전류값을 구하고 각각의 출력전압과 differential gain을 구해보면 다음과 같습니다.

 

위와 같이 두 트렌지스터의 입력에 differential mode voltage의 절반씩 입력으로 들어가고 있다면 Source의 전압은 0V 즉 ground가 되며 이것을 virtual ground라고 합니다. 따라서 이방법을 이용해 두 트렌지스터를 분리해서 해석할 수 도 있지만 그렇게 하지 않아도 위처럼 회로를 해석할 수 있습니다. 간단히 virtual ground의 원리와 적용한 결과회로에 대하여 알아보겠습니다.

 

위 회로에서 아래의 두 전압원을 포함한 mesh를 그려보면 다음과 같습니다.

 

MOSFET의 Source에서 본 저항은 1/g.m이므로 위와 같이 mesh를 표현할 수 있습니다. 여기에서 우리는 두 저항 사이의 전압이 0V 임을 확인하면 됩니다. 위 mesh에서 두 저항에 흐르는 전류를 구해보면 다음과 같습니다.

 

왼쪽 저항의 왼쪽 node의 전압에 전압강하가 일어난 후, 0V가 됨을 확인하면 됩니다.

 

따라서 우리는 위와 같이 회로가 구성되어 있으면 virtual ground를 이용하여 다음과 같이 회로를 해석할 수 있게됩니다.

 

virtual ground 이용

 

마지막으로 CMRR(Common mode rejection rate)에 대해 알아보겠습니다. 먼저 CMRR의 정의는 다음과 같습니다.

 

Common mode rejection rate

A.d는 우리가 위에서 구했던 Differential gain인데, A.cm은 처음보는 것입니다. A.cm은 Common mode gain이라고 하는데 Common mode라는 단어가 익숙하게 들립니다. 우리는 이전에 V.cm이라는 Common mode voltage를 Differential amplifier를 DC Biasing 해주는 두 트렌지스터에 공통으로 들어가는 DC전압이라 배웠습니다. 그러나 이전 포스팅에서 DC전압은 반드시 ripple이 있다고 했었으며, 이 ripple은 AC성분이므로 Common mode voltage의 ripple에 의해 얻어지는 gain이 존재하게 됩니다. 따라서 Common mode gain은 두 트렌지스터의 입력에 Common mode voltage의 ripple이 input으로 들어갈 때의 gain입니다. 회로를 살펴보겠습니다.

 

v.icm은 V.cm의 ripple이며 두 트렌지스터의 입력에 공통으로 V.cm이 들어가므로 ripple또한 같을 것 입니다. 직관적으로 위 회로의 Common mode gain을 예상해보면 당연히 0일 것 입니다. 정말 0이 맞는지 알아보겠습니다.

 

DC 성분을 모두 제거하고 저항 R.SS를 2개의 병렬저항으로써 분리 한 후, 두 트렌지스터 회로를 위와 같이 나누었습니다. 두 Amplifier는 정확히 모든 값들이 일치하므로 당연히 두 증폭기 출력의 차이는 0이므로, Common mode gain은 0이 될 것 입니다. 따라서 CMRR 값은 무한대가 됩니다.

 

CMRR 값은 높을수록 좋으며 중요한 속성입니다. 그런데 위에서 구해보았듯이 Differential Amplifier에서 Common mode gain은 항상 0이므로 CMRR은 항상 무한대가 되는것이 아닌지 의문이 될 수 도있습니다. 이론적으로 보면 그렇지만 실제로 회로를 구현하면 위 회로의 두 저항 R.D의 값이 100% 일치할 수 가 없습니다. 또한 두 트렌지스터의 g.m값도 정확히 일치할 수 가 없습니다. 따라서 Common mode gain이 0이 아니게 되는것이고 결국 CMRR 값이 무한한 값을 가지는 것이 아닌 유한한 값을 가지게 됩니다.

 

이번 포스팅은 여기서 마치고, 다음 포스팅에선 Offset voltage와 저항 R.D 대신, Active Load가 달려있는 Differential Amplifier에 대해 알아보겠습니다.