준정적 전계 시스템(Quasi-static electric field system) 공부하는 방법

이번 포스팅에선 저번 포스팅의 준정적 자계 시스템과는 반대로 자기장보다 전기장이 더 중요한 준정적 전계 시스템(Quasi-static electric field system)에 대해 알아보겠습니다. 이전 포스팅인 준정적 자계 시스템을 아직 보고오시지 않았다면 먼저 보고 오시는 것을 추천드립니다.

 

 

평행평판 문제

이전의 준정적 자계 시스템과 결론은 같습니다. 이전의 디귿자 도체판 문제에선 준정적 자계 시스템에선 준정적 조건을 이용하면 회로이론의 인덕턴스 처럼 해석이 가능했었습니다. 지금 위 평행평판 문제에선 전자파 이론을 이용하여 문제를 해석한 뒤 준정적 조건을 이용하면 간단하게 회로이론의 커패시턴스 처럼 생각할 수 있다는 결론이 얻어 질 것입니다. 이전 상황과 다른점은 도체판 끝이 이어져 있지 않으며 시간에 따라 변화하는 전압원이 연결되어 있다는 점입니다.

 

이전과 마찬가지로 도체판의 높이 s가 매우 짧아 fringing효과를 무시할 수 있고(y성분크기 무시), 도체판에 고르게 전압이 분포(z성분크기 무시)한다고 가정하여 전기장과 자기장의 크기는 x에만 의존하는 1차원적인 근사화로 문제에 접근해 보겠습니다.

 

이번에도 처음엔 1차원 파동방정식을 풀어서 전자파 이론을 통해 문제를 해결해 나가야 합니다. 1차원 파동방정식은 2차 미분방정식이므로 이를 풀기 위해선 2개의 경계조건이 필요합니다. 두 경계조건은 도체판의 맨 앞과 맨 뒤에서 얻어낼 수 있습니다.

먼저 도체판 맨 뒤쪽에서 경계조건을 구해보겠습니다. 

 

위와 같이 도체판 맨 뒤쪽에 y,z축과 평행한 경로를 잡아보겠습니다. x방향으로 전류가 흘려야 위의 경로에 자기장이 형성될 것 이지만 도선이 열려있는 즉, open 되어있기 때문에 실질적으로 x방향으로 흐르는 전류는 없을 것입니다. 따라서 x방향으로 흐르는 변위전류가 자기장을 형성해 주어야 하는데 변위전류는 전기장의 시간적 변화에 의해 생성이 되고 변위전류의 방향은 전기장의 방향과 같은 방향이기 때문에 x방향으로 흐르는 변위전류는 존재하지 않게 됩니다. 결국 해당 경로에 자기장은 형성되지 않을 것이므로 다음과 같은 경계조건이 성립합니다.

 

두번째 경계조건은 도체판 맨 첫쪽에서 구할 수 있습니다. 도체판 양단에 전압원을 연결해 주었기 때문에 두 도체판 사이에 형성된 전기장을 도체판 사이의 경로로 선적분해주면 두 판 사이에 걸어준 전압이 구해 질 것 입니다.

 

이전의 디귿자 도체판 문제와 동일하게 파동방정식과 구해진 경계조건을 복소수를 이용하여 먼저 전기장을 풀어낸 결과와 과정은 다음과 같습니다.

 

1차원 파동방정식 페이저 변환 후 계산

 

경계조건 페이저 변환

 

전기장 계산

다음으로 위에서 구한 전기장과 페러데이 법칙을 이용하여 자기장을 계산한 결과와 과정은 다음과 같습니다.

 

결국 계산된 전기장과 자기장의 최종 표현식과 그래프는 다음과 같습니다.

 

결과식을 보면 전기장과 자기장 모두 이전 디귿자 도체판 문제와 마찬가지로 거리 x와 시간 t가 분리되어있는 결과를 얻어 Standing wave 형태를 가진다는 것을 확인할 수 있습니다.

 

위 결과에 전기기계 시스템이 매우 작고 시간에 따라 변화는 전압원의 주파수가 비교적 작다는 준정적 조건을 사용하면 다음 과 같은 식과 그래프를 얻어 낼 수 있습니다.

 

 결국 위의 평행평판 문제를 해석한 후, 준정적 조건을 이용하면 전계가 특정시간엔 위치에 따라 일정한 정적인 값을 가지게 되는 것을 확인할 수 있습니다. 

 

위와 같은 시스템을 준정적 전계 시스템(Quasi-static electric field system)이라고 하며 준정적 자계 시스템과는 반대로 정전압이 걸려있다고 생각하여 전기장을 계산한 후, 실제 조금씩 전기장은 변화하고 있으므로 암페어의 주회법칙과 계산된 전기장을 이용하여 자기장을 계산해 내면 됩니다. 따라서 준정적 자계 시스템의 경우 자기장이 중요한 시스템이였지만 준정적 전계 시스템의 경우 전기장이 중요한 시스템이라고 볼 수 있습니다.

 

결론적으로 회로이론 또한 이러한 준정적인 접근을 통해서만 성립이 가능하고 위 문제는 회로이론에서의 커패시턴스와 같은 결과를 가지게 됩니다. 따라서 우리가 앞으로 공부할 전기기계 시스템에선 준정적 접근을 기본으로 하기 때문에 위와 같은 상황에선 전자파 이론을 이용하지 않고 직접적으로 회론에서의 커패시턴스를 이용하면 문제를 쉽게 해석 할 수 있습니다.

 

마지막으로 준정적 전계 시스템에선 정전압이 걸린다 가정하고 문제를 풀기 때문에  이에 따라 단순화되는 맥스웰 방정식에 대해 알아보겠습니다.

 

다른 방정식들은 모두 똑같으나 페러데이의 법칙만이 위와 같이 단순화됩니다. 페러데이의 법칙은 시간에 따라 변화하는 자기장이 전기장을 만든다는 법칙이지만, 준정적 전계 시스템에선 정전압에 의해서만 전기장이 형성되고 형성된 전기장이 실제로 약간 변하므로 그것에 의해 자기장이 형성됩니다. 결국 준정적 전계 시스템에서 전기장은 자기장에 영향을 미치지만, 자기장은 전기장에 영향을 미치지 않기 때문에 페러데이의 법칙이 위화 같이 단순화 될 수 있는 것 입니다.

 

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에너지변환공학

준정적 자계 시스템(Quasi-static magnetic field system)

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 장용희  2018. 9. 24. 21:26

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시간적으로 변하는 Source가 존재한다면 맥스웰 방정식에 의해 전기장과 자기장이 서로를 만들어내게 되고 이러한 것이 전자파 형태로 전파된다는 전자파 이론이 나오게 됩니다. 에너지변환공학에서 주로 다룰 전기기계에서도 시간적으로 변하는 Source를 사용하게 되므로 전자파 이론이 성립하게 됨은 당연합니다. 그러나 전기기계에서 사용되는 Source의 주파수는 수백 Hz이므로 일반적인 경우에 비해 상당히 낮습니다. 주파수가 빠르지 않아 전자파 이론을 굳지 사용하지 않아도 되기 때문에 우리는 시간에 따라 변하지 않는 DC랑 똑같지는 않지만 근사적으로 DC와 비슷하게 해석(Quasi-static)하는 중간적인 위치에서 시스템을 해석할 수 있습니다.

 

결론을 먼저 말하면, 중간적인 위치에서 시스템을 해석할 수 있게 되므로 전기기계 시스템을 다루는 에너지변환공학에선 전자파 이론이 아닌 회로이론 적 접근 즉, E나 B가 아닌 V,I,R,L,C 만을 생각하면 된다는 결론에 도달하게 됩니다.

 

따라서 전기기계의 현상을 설명할 땐 Quasi-static(준정적) Theory로 충분하기 때문에 이번 포스팅에선 어떠한 경계 상황 즉, 어떠한 조건에서 Quasi-static을 사용하면 되는지와 Quasi-static 해석 방법에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

먼저 하나의 인덕터로 볼 수 있는 저항이 0인 PEC(Perfect conductor)로 이루어진 폭 s가 매우 좁은 디귿자 도체판에 AC전류원을 연결하였을 때 내부적으로 어떠한 일이 일어나는지에 대해 살펴보겠습니다. 상당히 복잡한 문제지만 해석하고 나면 우리가 원하는 결론에 도달할 수 있게됩니다.

 

맥스웰 방정식에 의하면 위 상황에서 전기장과 자기장은 각각 y와 z방향으로만 발생합니다. 그 크기는 두 도체판 사이의 폭 s가 매우 짧아 옆으로 퍼져나가는 E field가 없다면 즉 fringing 효과를 무시할 수 있다면 y방향 성분이 무시되고, 전류가 z방향으로 규일하게 분포되어 x방향으로 흘러간다면 z값에 상관없이 동일한 전류 값을 가질 것 이므로 z방향 성분 또한 무시될 수 있습니다. 결국 전기장과 자기장의 크기는 x방향에만 의존한다는 1차원적인 근사를 할 수 있게 됩니다. 이 때의 1차원적인 파동방정식을 써보면 다음과 같습니다.

 

파동방정식은 2차 미분방정식의 형태를 가지므로 위 2차 미분방정식을 풀기 위해선 2가지의 경계조건식이 필요합니다.

 

첫번째 경계조건은 x0인 도체판 끝 부분에서 얻을 수 있습니다. 도체판의 끝 부분은 서로 디귿자형태로 연결되어 있습니다. 그런데 저항이 0인 PEC이므로 위 도체판에서 아래 도체판으로 넘어가며 생기는 전압강하는 존재할 수 없습니다.  전압은 전기장의 선적분 값이므로 결국 전기장도 0이 됩니다.

 

두번째 경계조건은 x-L인 전류원이 위치한 맨 앞부분에서 얻을 수 있습니다. 

 

위와 같이 x-L 위치에 파란색 직사각형의 경로를 잡았습니다. AC이니 전류의 방향을 항상 변화하겠지만 현재 도체판엔+x방향으로 전류가 흐르며 아래 도체판은 -x방향으로 전류가 흐른다고 보겠습니다. 경로에 따른 자기장의 값을 살펴보면 (1)번과 (3)번경로엔 자기장 값이 존재하지 않기 때문에 고려를 해주지 않아도 되며, 위의 도체판과 아래 도체판에는 서로 다른 방향의 전류가 흐르고 있으므로 오른속의 법칙에 의해 (2)번 경로의 자기장은 아래 도체판에서 생성된 자기장과 상쇄되게 되므로 마찬가지로 고려해 주지 않아도 됩니다. 결국 우리는 x-L 위치에선 (4)번 경로의 자기장만 고려해주면 되는 것 입니다.

그렇다면 이제 암페어의 주회법칙을 이용하여 식을 세워보겠습니다. 암페어의 주회법칙은 다음과 같았습니다.

 

우리는 애초에 도체판 사이의 거리인 s가 매우 좁다고 가정을 하고 문제를 풀어나가고 있으므로 우리가 잡은 폐경로의 면적 또한 매우 작을 것 입니다. 따라서 적분형 식에서 우변의 2번째 항을 무시할 수 있게 됩니다. 우변의 2번째 항을 무시하고 4번 경로의 자기장만을 고려한 식을 써주면 다음과 같습니다.

 

우리가 기준으로 잡은 자기장의 방향과 4번 경로에서의 자기장의 방향의 부호가 서로 반대이므로 결과식에 마이너스 부호를 붙여주어야합니다. 

 

위의 결과식에서 도체에 흐르는 전류를 면전류밀도를 이용하여 풀어서 써준다면 다음과 같이 식을 쓸 수 있게됩니다.

 

최종적으로 위에서 구한 두가지의 경계조건은 다음과 같습니다.

 

이제 위 두 경계조건을 이용하여 파동방정식을 풀면됩니다.

조금 더 쉽게 계산하기 위해 복소수를 이용하여 방정식을 풀어보겠습니다. 먼저 파동방정식을 복소수 형태로 변환하여 풀면 다음과 같습니다.

 

이제 주어진 경계조건을 이용하기 위해 경계조건 또한 복소수 형태로 변환하여 표현해준 결과는 다음과 같습니다.

 

 

이제 모든 준비는 끝났습니다. 경계조건을 이용하여 파동방정식을 푼 결과는 다음과 같습니다.

 

페러데이의 법칙을 이용하면 다음과 같이 자계도 쉽게 구해낼 수 있습니다.

 

결국 최종적으로 위 문제 상황에서 해석한 전기장과 자기장의 결과 식과 그림은 다음과 같습니다.

 

결과식의 형태를 보면 전계와 자계 모두 거리 x와 시간 t가 서로 분리된 형태를 가지고 있습니다. 따라서 시간과 거리가 서로 의존하는 traveling wave의 진행파 형태가 아닌 wave가 마치 멈춰있는 듯한 standing wave를 가지게 될 것 입니다.

 

Standing wave

 

그런데 만약 위 문제에서 시스템의 크기가 작으며 전류원이 느리게 변화한다면 다음과 같은 조건을 사용할 수 있게 됩니다.

 

위 조건을 준정적 조건이라 하는데, 그 이유는 위 조건을 이용한 근사화된 전계와 자계의 결과식을 확인해보면 알 수 있습니다.

 

결국 자기장은 위치에 상관없으므로 특정시간엔 마치 DC인 것 처럼 생각할 수 있게 됩니다. 이는 결국 위 문제상황에 준정적 조건을 사용하면 자기장에 한에 전파특성이 사라지게 되고 static current(정전류)가 흐르는것 처럼 보임을 의미합니다. 전기장은 그나마 전파특성이 남아있어 시간과 위치에 따라 크기가 변화하지만 변화하는 속도가 매우 작기때문에 일부분만 본다면 선형적이라 생각할 수 있습니다. 

위와 같은 system을 준정적 자계계(Quasi-static magnetic field system)이라고 합니다. 

이제 준정적 자계계를 해석하는 방법에대해 순서대로 알아보도록 하겠습니다.

 

첫번째로, 정전류가 흐른다고 가정해야합니다. 정전류가 흐른다고 가정한다면 자기장을 쉽게 구해낼 수 있습니다. 또한 정전류가 흐르니 자계만 형성되게 될 것 입니다.

 

 

하지만 실제로 자기장은 시간적으로 느리게 변하고 있으므로 첫번째에서 구한 자기장과 페러데이의 법칙을 이용하여 전기장을 계산해야합니다.

 

다시한번 정리하면 준정적 자계시스템에서는 자기장이 정적이므로 정적인 전류가 흐른다고 생각하고 자기장을 먼저 구한 뒤, 실제 자기장은 변화하고 있으므로 구한 자기장과 페러데이의 법칙을 이용해 전기장을 구하면 되는 것 입니다.

마지막으로 준정적 자계계의 조건들에 의해 단순화된 맥스웰 방정식들을 살펴보겠습니다.

 

준정적 자계계의 맥스웰 방정식과 연속방정식

먼저 준정적 자계계에선 전기장은 자기장 때문에 생성된다고 생각하므로 가우스의 법칙은 중요하지 않습니다. 따라서 위 내용에서 제외하였습니다. 이제 각각의 법칙에 대해 살펴보겠습니다.

 

첫번째 암페어의 주회법칙의 경우엔 자기장은 정전류에 의해 형성되어야 하므로 변위전류 성분이 사라지게 됩니다.

두번째 페러데이의 법칙의 경우 실제 자기장은 천천히 변화하므로 그대로 유효합니다.

세번째 자속 보존의 법칙의 경우에도 정전류가 흐른다고 해서 자기장의 자속이 보존되지 않는 것은 아니므로 유효합니다.

네번째 전하 보존의 법칙의 경우 준정적 자계계에선 정전류가 흐른다고 생각하므로 들어오고 나가는 전하의 량이 같을 것입니다. 따라서 위와 같이 식의 결과가 0으로 바뀌어야합니다.

 

위 방정식들을 살펴보면 결론적으로 준정적 자계계에선 정전류에 의해서 자기장가 결정되고 결정된 자기장에 따라 전기장이 결정된다는 것을 확인 할 수 있습니다. 따라서 준정적 자계계는 자기장이 중요한 시스템이라 할 수 있습니다.

 

결국 디귿자 도체판 문제에서 준정적 접근을 하면 전자파를 고려하지 않아도 된다는 결론을 얻게 됩니다. 회로이론도 이러한 준정적 접근하에서만 가능한데 위 디귿자 도체판 문제의 경우엔 준정적 접근을 통해 하나의 인덕터로써 볼 수 있게 됩니다. 결국 크게 보면 전기기계를 다룰때나 회로이론에선 전자파를 고려하지 않고 위 상황에서 전자파들을 고려하지 않고 단순히 하나의 인덕터가 존재한다고 생각하고 문제를 해결해나가면 됩니다.

 

준정적 자계계에 대한 포스팅은 여기서 마치고 다음 포스팅에선 전기장이 더 중요한 준정적 시스템인 준정적 전계계에 대해 알아보도록 하겠습니다.