페르미 레벨 피닝현상

반도체공학 카테고리의 첫 포스팅으로, Metal-Semiconductor junction에서의 Fermi-level pinning 에 대해 좀 더 자세히 알아보도록 하겠습니다.

 

먼저 이전의 내용들을 간략히 복습해보겠습니다. Metal-Semiconductor junction엔 총 2가지 Contact이 존재하며 ohmic contact이 일어난 경우엔 Metal과 Semiconductor 양 방향으로 전류를 잘 흘려줄 수 있으며, rectifying contact의 경우엔 한쪽 방향으로만 전류가 흐를 수 있었습니다. 더불어 어떠한 종류의 contact이 일어나는지는 Metal과 Semiconductor 각각의 Fermi level에서 전자를 진공으로 꺼내는데 드는 에너지인 work function들을 비교하여 결정할 수 있었습니다. 자세한 내용은 다음 포스팅을참조하시면 확인하실 수 있습니다.

 

Metal-Semiconductor junction(금속-반도체 접합) & Schottky Barriers(쇼트키 장벽)

MOSFET과 같은 반도체 소자나 pn 접합 다이오드를 만들 때 Metal과 Semiconductor간의 접합이 많이...

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Metal은 주로 전극으로 많이 쓰이기 때문에 마치 반도체와 외부세계의 접점 역할을 한다고 볼 수 있습니다. 이때 Metal과 Semiconductor이 ohmic contact을 이루어야 함은 당연해보입니다. 외부세계와 반도체 사이를 자유롭게 다닐 수 있어야하기 때문입니다. 그러나 Fermi-level pinning 때문에 work function의 조건을 잘 맞추어 ohmic contact을 가지는 물질들로 Metal-Semiconductor junction을 만들더라도 ohmic contact은 실제로 만들기가 어렵습니다. 따라서 실제 산업에선 반도체의 접합부분을 고농도로 도핑하면 Schottky barrier가 형성되는 depletion region의 width가 줄어들고 이에 따라  일어나는 tunneling을 이용하여 양방향으로 전류가 잘 흐르도록 하고 있습니다. 고농도로 도핑하였을 때 depletion region이 줄어드는 이유는, 고농도로 도핑을 해주면 이온들이 빽빽하게 존재하기 때문에 같은 수의 이온들이 드러날 때 상대적으로 작은 면적만이 필요로 되기 때문입니다. 

 

이제 본론으로 돌아와 Fermi-level pinning에 대해 본격적으로 알아보겠습니다.

 

Fermi-level pinning이란 Metal-Semiconductor junction에서 Semiconductor의 interface 즉, 반도체의 surface에서 발생되는 현상이며 이 현상은 Energy barrier를 만들어내고 Conduction band와 Valence band를 구부리게 됩니다. 또한 이렇게 만들어진 Energy barrier는 Metal의 work function과는 거의 무관하게 되버립니다. 우리가 알고있던 조건들이 아무 소용이 없어지는 것 입니다. 기술적인 관점에서 보면 Fermi-level pinning은 매우 큰 문제를 초래하게 되는데, Energy barrier가 마치 기생저항과 같은 역할을 하게 되어 태양전지 및 트렌지스터의 성능을 급격히 떨어뜨려버립니다.

 

Fermi-level pinning 현상을 좀 더 자세히 알아보고 이해하기 위해선 먼저 반도체의 surface에는 흔히 우리가 Energy band gap이라 부르는 forbidden band에도 전자가 존재하거나 비어있는 energy state인 surface state(표면 에너지상태)가 존재한다는 것을 이해해야 합니다. 금지대역에 전자가 존재한다는 것은 쉽게 와닿지 않습니다. 사실 우리가 알고있는 energy band 개념은 내부의 결정(crystal)이 무한히 주기적(infinitely periodic)이라는 가정하에 설립된 개념입니다. 그런데 반도체엔 항상 surface가 존재하게 됩니다. 이 말은 반도체는 무한이 주기적일 수 없으며, energy band의 개념은 반도체의 끝 부분인 surface 부분에선 성립할 수 없다는 것을 의미하게 됩니다. 따라서 반도체의 표면(surface) 또는 접합(interface)에 surface state이 있다는 것은 그리 놀라운 일이 아닙니다.

 

이제 Conduction band와 Valence band 사이에 전자가 존재하거나 비어있는 surface state이 있다는 것을 어느정도 이해하였습니다. 그런데 반도체의 surface나 interface에 이 surface state이 존재함으로 인해서 charge neutral(전하중성)이 깨질 수 있게 됩니다. surface state가 차있다는 것은 전자가 추가적으로 존재한다는 것 이기 때문입니다. 에너지 상태는 낮은 곳 부터 채워지므로 이 state는 아래에서부터 위로 채워질 것은 당연합니다. 여기에서 우리는 E.n이라는 E.c(Conduction band)와 E.v(Valence band) 사이의새로운 energy level를 정의 합니다. 이 state는 반도체 표면의 전하중성을 만족시켜 줄 수 있는 energy level 입니다. E.n은 채워져 있는 surface states들과 비어져 있는 surface states의 경계에 위치해 있습니다. E.n 아래의 surface states들은 모두 채워져있는 것이고 위의 surface states들은 모두 비워져 있는 것 입니다.결국 Fermi level이 E.n에 위치해야 반도체의 표면의 전하중성이 유지되므로 Fermi level은 E.n에 pinning 되게 됩니다. 예를 한번 들어보겠습니다.

 

왼쪽 그림은 Surface를 고려하지 않았을 때의 equilibrium 상태를 가지는 n-type 반도체 입니다. 이제 오른쪽 그림처럼 Surface를 고려해보겠습니다. Surface를 고려한다면 위와 같이 surface states로 인해 전하중성이 깨지고 Equilibrium 상태를 가질 수 없게 됩니다. 다시 Equilibrium으로 돌아가고 전하중성을 유지하기 위해선 conduction band의 전자들이 surface states을 채운 전자의 수 만큼 Surface 밖으로 나가야 할 것이고 이렇게 되면 당연히 Fermi level은 아래로 내려와야 합니다. 결국 E.n 근처로 Fermi-level이 pinning 되게 됩니다. 이 과정에서 band의 구부러짐이 생기게 됨은 당연합니다. 왜냐하면 surface 근처의 전자들만 surface 밖으로 넘어가는 것이기 때문입니다.

 

위와 같은 surface states으로 인한 Fermi level pinning으로 인해, metal과 semiconductor 접합에선 semiconductor의 접합부분의 surface states를 metal의 electron들이 쉽게 채울 수 있게 되고 이에 따라 metal의 work function과는 무관하게 energy barrier가 생기게 되는 것 입니다. 이것이 결국 ohmic contact을 만들기 힘들게 하는 가장 큰 요인이 됩니다.

 

이번 포스팅에서는 Fermi level pinning에 대해 알아보았습니다. 다음 포스팅에선 본격적으로 FET에 대해 다뤄보고 그 중 junction FET에 대해 집중적으로 다뤄보겠습니다.

 

 

이전 포스팅에서 준정적 자계 시스템과 준정적 전계 시스템을 공부하며, 준정적 접근을 이용하면 회로이론적 접근을 통해 전기기계 시스템을 인덕턴스와 커패시턴스로 볼 수 있고 이를 이용해 단자(terminal)에서의 전압 전류로써  풀어 나갈 수 있다고 배웠습니다. 

 

그렇다면 준정적 전자계 시스템에 기계적 효과들이 추가된다면 어떻게 될까요? 기계적 효과들이 추가된다면 시스템은 전기 시스템과 기계 시스템 그리고 두 시스템의 결합(Coupling)으로써 구성되게 될 것 입니다. 이렇게 기계 시스템이 추가된 시스템 또한 전기기계 시스템이라 볼 수 있지만 조금 더 구체적으론 집중정수 전기기계 시스템(lumped electromechanical system)라 합니다. 결국 우리는 전압과 전류라는 전기적 변수 뿐 아니라 힘과 변위라는 기계적인 변수를 함께 고려하여 시스템을 표현할 새로운 수학적 모델이 필요로하게 되며 이러한 수학적 모델을 표현한 것을 집중정수 전기기계 소자(lumped electromechanical elements)라고 합니다.

 

전기 시스템에선 기계적 효과로 인해 변화하는 전기장 혹은 자기장이 있을 수도 있으므로 이에 영향을 받게 됩니다. 이때 이를 하나의 전기기계적 결합이라 볼 수 있을 것 입니다. 기계 시스템도 마찬가지로 전기 시스템에서의 전기력이나 자기력이 강체에 영향을 줄 수 있으므로 이를 전기기계적 결합으로 볼 수 있습니다. 따라서 결국 전기 시스템은 기계 시스템에서 받은 영향(운동)을 포함한 조금 더 일반화된 회로이론적 접근이 필요하게 되며, 기계 시스템 또한 전기적 힘을 포함한 강체 역학을 고려해 주어야 합니다.

 

위에서 집중정수(lumped-parameter)라는 말이 나오는데 간단히 집중정수 시스템의 정의에 대해 알아보겠습니다. 

 첫번째, 전자기장이 준정적입니다. 전기기계 시스템에선 준정적 접근을 이용하기 때문에 매우 당연한 특징입니다. 준정적이라는 것은 시스템을 분석하는데 있어 전자파 이론으론 풀기 힘드니, 인덕턴스 커패시턴스 저항과 같은 집중정수 소자로써 시스템을 보고 단자에서의 전압 전류로 풀자는 것을 의미합니다.

 두번째, 전기적인 단자(terminal)의 특성은 전압과 전류라는 유한한 전기적 변수(electrical variables)의 함수로 기술되게 됩니다. 

 

위와 같이 인덕터와 커패시터의 경우 전압과 전류라는 전기적인 변수의 함수로써 기술 될 수 다는 것은 회로이론을 배웠다면 이미 잘 알고 있을 것 입니다.

세번째, 전기적 효과 뿐 아닌 기계적 효과 또한 유한개의 기계적 변수(mechanical variables)의 함수로 기술됩니다. 앞으로 배우겠지만, 전기시스템에서의 전압 전류와 마찬가지로 기계시스템에서도 변위와 힘이라는 것이 존재하게 되며 이에 따라 시스템이 기술되게 됩니다.

 

위에서 전기기계 시스템은 크게 전기 시스템, 기계 시스템, 두 시스템의 결합으로 나눌 수 있으며 두 시스템의 결합(전기기계적 결합)이 각각의 시스템에 영향을 끼친다고 했습니다. 이에 따라 회로이론적 접근을 하는 전기시스템에선 기계 시스템과의 결합에 의한 영향을 고려해 주어야 하기 때문에 인덕턴스와 커패시턴스에 기계적 효과를 추가하여 새롭게 일반화 하는 과정이 필요하게 됩니다. 이번 포스팅에선 기계적 효과가 추가됨에 따라 일반화 되는 인덕턴스와 커패시턴스에 대해 알아보도록 하겠습니다.

먼저 일반화된 인덕턴스에 대해 알아보도록 하겠습니다.

한 바퀴의 원형 경로를 가진 도선에 시간에 따라 변화하는 전류원을 연결해주면 페러데이의 법칙에 따라 변화하는 자속에 의해 단자(terminal)에 유도 전압이 생긴다는 것은 잘 알고 있습니다.

 

도선이 한 바퀴 감겨 있으므로 위 식은 자속(magnetic flux)과 쇄교 자속(flux linkage)의 관계를 이용하여 다음과 같이 표현해 줄 수 있습니다.

 

쇄교 자속은 magnetic flux density(자속 밀도)의 면적분인 자속에 코일의 turn 수를 곱해 준 것 이므로 위와 같이 식이 표현됩니다. 그렇다면 우선 자속밀도는 어떠한 parameter에 영향을 받는지 알아보겠습니다.

  첫번째, 자속 밀도는 단자에 연결된 전류에 의해서 결정 될 것입니다. 도선에 흐르는 전류는 오른속의 법칙에 의해 자속을 만들어내므로 매우 당연합니다.

 두번째, 코일이 감겨있는 물질의 성질에도 영향을 받을 것 입니다. 코일이 permeability(투자율)이 높은 자성체에 감겨 있다면 자속이 잘 흐를것이고 반대로 투자율이 높지 않은 자성체에 감겨있다면 자속은 잘 흐르지 않을 것 입니다.

 세번째, 코일이 움직인다면 그것에 의해서도 자속 밀도는 영향을 받게 됩니다.

 

결국 자속 밀도는 전류, 물질의 성질, 위치에 대한 함수가 되며 따라서 쇄교자속 또한 전류, 물질의 성질, 위치에 대한 함수로 표현할 수 있게 됩니다. 그런데 만약 2번째 parameter인 물질의 성질 즉 자화 특성이 인가해준 전류에 의해 결정되며 한쪽 방향(x)로만 움직이게 된다면 최종적으로 쇄교자속은 시간에 따라 변화하는 전류 i(t)와 시간에 따라 변화하는 위치 x(t)에 대한 함수로써 정의할 수 있게됩니다.

 

따라서 단자의 전압 v는 편미분을 이용하여 다음과 같이 표현 할 수 있게 됩니다.

 

위 결과식 우변의 첫번째 항은 전류의 시간적 변화에 대해서만 결정되고 기계적인 효과가 포함되어 있지 않으므로 변압기 전압이라고 부르며, 두번째 항은 위치의 변화 즉 속도에 따라 발생하는 전압이므로 속도 전압이라 합니다. 결국 인덕터와 같은 준정적 자계 시스템을 따르는 진기기계 단자에 운동에 의한 속도전압이 추가되는 결과를 얻게 되었습니다.

 

그런데 만약 시스템이 전기적으로 선형이라면 결과는 우리에게 조금 더 익숙한 형태로 달라 질 수 있습니다. 시스템이 전기적으로 선형이라는 것은 물질에 인가된 자기장에 자화 특성이 비례한다는 것을 의미합니다. 그런데 자화특성이 전류에 의해 결정되므로 결국 자기장이 전류와 비례하게 된다는 결과를 가지게 됩니다. 따라서 자기장과 비례하는 쇄교자속 또한 전류와 비례하게 되고 쇄교자속과 전류의 비례관계를 인덕턴스 L(x)라는 비례상수를 이용하여 표현할 수 있게 됩니다.

 

결국 비례상수가 바로 일반화된 인덕턴스가 되며, 단자의 전압을 위 비례관계를 이용하여 다시 써보면 다음과 같은 최종 결과를 얻을 수 있습니다.

 

위 결과식에서 소자의 움직임이 없다면 우리가 회로이론에서 늘상 사용하던 전압전류 관계식이 보이게 됩니다. 결국 우리가 사용하던 인덕턴스는 준정적 조건과 함께 선형이라는 조건 또한 만족해야 사용할 수 있는 것이라는 확인 할 수 있었습니다.

이번엔 일반화된 커패시턴스에 대해 알아보겠습니다.

2개의 마주보고있는 완전도체판에 시간에 따라 변하는 전압원을 연결해주면 커패시터 단자에 흐르는 전류는 도체판에 유전된 전하를 이용하는 다음과 식으로 구할 수 있을 것 입니다.

 

이제 도체판의 전하량 q가 어떠한 parameter에 영향을 받는지 알아보겠습니다.

 첫번째, 전하량 q는 단자에 인가된 전압에 의해 결정됩니다. 전압을 인가시켜 주면 도체판에 전하가 공급되기 때문에 너무 당연합니다.

 두번째, 도체판 사이에 있는 물질의 성질(polarization, 편극)에 영향을 받을 것 입니다. 만약 permittivity(유전율)이 큰 물질이 도체판 사이에 존재한다면 더 많은 전하가 모일 것이고 반대로 유전율이 작다면 더 적은 전하가 도체판 양단에 유전될 것 입니다.

 세번째, 도체판이 움직인다면 움직인 위치에 따라 도체판에 유전된 전하에 영향을 끼칠 것 입니다.

 

따라서 도체판에 유전된 전하량 q는 전압, 물질의 성질, 위치에 대한 함수로써 정의 될 수 있게 됩니다.

앞에서 해석한 일반화된 인덕턴스와 마찬가지로 물질의 성질(편극)이 전압에 의해 결정되고(인가 된 전기장) 도체판이 위치가 한 방향(x)으로만 이동하게 된다면 결국 q는 다음과 같이 함수로써 표현할 수 있게 됩니다. 

 

이제 전류와 전하량의 관계식에서 전하량을 전압과 위치에 대한 함수로써 넣어 편미분을 계산하면 다음과 같이 표현됩니다.

 

우변의 첫번째 항은 전기회로의 커패시터에 사용되는 기계적 운동이 없을 때 발생하는 전류이며 두번째 항은 전기기계 시스템이 이동할 때 발생하는 전류입니다.

 

만약 일반화된 인덕턴스 해석과정과 동일하게 전기적 선형 시스템이라면 전기장과 편극 특성이 비례하게 됩니다. 그런데 전기장과 전압은 비례하고, 전압과 편극 특성도 비례하고 전기장과 전하량 또한 비례하므로 결국 전압과 전하량 또한 비례관계를 가지게 됩니다. 따라서 우리는 위치에 대한 부분만 따로 묶어서 커패시턴스라 불리는 비례상수 C(x)로 만들어준다면 다음과 같은 전하량과 전압의 비례식을 세울 수 있습니다.

 

위 비례식은 우리가 익히 알고있는 식 QCV과 같은 형태를 가지게 됩니다. 결국 우리가 쓰던 QCV는 전기적으로 선형인 시스템에서만 쓸 수 있는 식이라는 것을 확인 할 수 있습니다. 이제 위에서 구한 비례식을 이용하여 전류와 전하량의 관계식에 대입하여 풀어보면 다음과 같은 최종 결과를 얻게 됩니다.

 

 

결국 일반화된 인덕턴스와 일반화된 커패시턴스를 유도하는 과정은 변수의 차이를 가질 뿐 거의 유사하며 비슷한 의미와 결론을 가지게 됩니다.

 

이번 포스팅에선 기계적 효과가 포함된 전기기계 시스템 속에서 일반화되는 전기 시스템의 인덕턴스와 커패시턴스에 대해 알아보았습니다. 다음 포스팅에선 일반화된 인덕턴스와 커패시턴스를 이용한 간단한문제 상황을 해석해보도록 하겠습니다.