랜덤변수의 변환

랜덤변수 X를 위와 같이 전달함수 g(X)를 이용하여 Y로 변환한다면, 이 새로운 랜덤변수 Y의 pdf는 어떻게 구할 수 있으며 기존의 랜덤변수 X의 pdf와는 어떠한 관계가 있을지에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

만약 g(X)가 X와 Y에 관한 단조함수(일대일대응)면 어떻게 될까요? 간단하게 g(X)가 단조증가함수 일 때의 X,Y 그래프를 그려보겠습니다.

 

g(X) : 단조증가함수

g(X)가 단조증가함수라면, X의 작은값부터 Y의 작은값으로 매칭되며 하나의 X에대해 단 하나의 Y만 매칭되게 됩니다.(일대일대응) 따라서 Y의 특정 구간에 해당하는 확률과 X의 특장 구간에 해당하는 확률이 같아지게 됩니다. 간단히 예를들면, g(X)가 Yg(X)X+2라면, 랜덤변수 X가 1일확률은 랜덤변수 Y가 3일 확률과 같은것은 당연한 것 입니다. 이를 식으로 써서 Y의 pdf를 구해보면 다음과 같습니다.

 

Y의 pdf공식

그렇다면 g(x)가 일대일대응이긴 하지만 단조증가가 아닌 단조감소함수이면 어떻게될까요?

 

g(X) : 단조감소함수

이렇게 단조감소함수가 되어버리면, 위의 pdf공식엔 변화가 없습니다. 여전히 일대일 대응이기 때문입니다. 그러나 단조감소에선 X가 증가할 때 Y가 감소하므로 cdf에 변화가 생깁니다.

 

따라서 단조감소함수에선 X의 cdf와 Y의 cdf간엔 다음과 같은 관계가 성립하게 됩니다.

 

g(X) : 단조감소함수 , cdf

단조증가함수일 땐 단순히 둘의 cdf는 같지만, 위와 같이 단조감소함수일 땐 달라집니다. 만약 랜덤변수 X가 연속적이라면 위 결과식의 맨 오른쪽 확률 P(X)는 0으로 계산될 것이며, 만약 이산적이라면 값을 넣어서 계산해주어야 할 것 입니다. 그렇다면 예제를 한번 풀어보겠습니다.

 

예제1

먼저 g(X)는 a가 양수인지 음수인지에 따라 단조감소, 혹은 단조증가함수가 될 것입니다. 또한 위와같은 변환은 선형변환이라 할 수 있습니다.. pdf는 단조증가나 단조감소에 영향을 받지 않으므로, Y의 pdf를 위에서 구한 공식을 이용하여 X의 pdf에 대해 써보면 다음과 같습니다.

 

Y의 pdf

a가 음수이거나 양수일 수 있지만 pdf는 항상 같습니다. 그렇다면 Y에대한 cdf도 한번 X에 대한 cdf식으로 써본다면 다음과 같습니다.

 

Y의 cdf

이제 위에서 구한 pdf에 값을 대입해서 써보겠습니다.

 

랜덤변수 X와 마찬가지로 선형변환한 Y도 가우시안 랜덤변수 형태의 pdf를 얻을 수 있었습니다. 따라서 선형변환을 하면, 특성이 그대로 유지된다는 것을 확인할 수 있습니다. 랜덤한 현상들이 중첩되면 가우시안 랜덤변수가 된다고 했었는데, 신호의 잡음 같은 경우에도 랜덤한 현상이라 볼 수 있으며 가우시안 랜덤변수로 나타낼 수 있습니다. 따라서 위와 같은 결과를 이용하여 선형필터를 만들어 a의 제곱값을 낮춰주면 분산이 작아지고 잡음을 줄일 수 있습니다.

 

이제 g(X)가 단조함수가 아닌, 즉 일대일대응이 되지 않는 함수일 때 Y의 pdf와 cdf를 어떻게 구할 수 있는지 알아보겠습니다.

단조함수가 아닐경우, 구간을 단조함수구간인 단조증가와 단조감소들로 나누어 따로 계산해주어야 합니다. 간단한 예제만 하나 풀어보면 금방 이해를 할 수 있습니다.

 

예제2

g(X)는 포물선의 형태를 가지므로 단조감소함수와 단조증가함수로 나눌 수 있습니다. 먼저 X에 대해 Y를 풀어주면 다음과 같습니다.

 

하나의 y에 대해 2개의 x값이 존재하게 되며, x.1은 단조증가구간값이고 x.2는 단조감소구간값입니다. 이제 pdf를 써보면 다음과 같습니다.

 

pdf

cdf도 한번 구해보면 다음과 같습니다.

 

cdf

마지막으로 a1, b0, c0일 때, Y의 pdf를 계산해보겠습니다.

 

결론적으로 위와 같이 Y의 pdf가 계산됩니다. 하나만 풀면 아쉬우니 하나만 더 풀어보도록 하겠습니다.

 

이번엔 랜덤변수 X의 pdf가 따로 주어졌습니다. 먼저 구간을 나누고, Y의 pdf를 표현해보면 다음과 같습니다.

 

이제 X의 pdf의 구간에 대해 Y의 pdf의 구간을 결정해 주어야 합니다.

 

위와 같이 구간을 결정하고 나면 최종적으로 우리는 3가지 구간에 대한 값을 구해낼 수 있습니다.

 

결론적으로 단조함수가 아닐 땐, 구간을 잘 나누어 주어 계산을 해야한다는 것을 확인할 수 있었습니다.