모스커패시터의 숏채널 이펙트

집적도를 높히기 위해선 MOSFET의 size를 줄여야하며 이에 따라 MOSFET의 channel은 매우 짧아지게 됩니다. 정확한 개념으로써 정해져 있는것은 아니지만 보통 long channel의 경우엔 1마이크로미터 이상을 말하며 short channel의 경우엔 0.1마이크로미터 이하를 말합니다. 최근 기술에서의 채널의 길이는 약 7~8nm정도를 가지기 때문에 매우 짧은 short channel을 가지며 당연히 양자역학적 해석이 필요합니다. 이는 short channel의 이론이 완벽하지 않다는 것을 의미하며 기본적인 long channel의 이론에서 점차 수정해 나가는 식으로 이론이 전개되고 있습니다.

 

그렇다면 본격적으로 MOSFET의 Channel이 매우 짧아짐에 따라 어떠한 효과들이 발생하는지에 대해 하나씩 알아보도록 하겠습니다.

가장 먼저 전류식의 변화가 존재할 것 입니다. saturation이 되지 않은 상황이라면 long channel에서의 전류식을 사용할 수 있습니다. 다를것이 전혀 없습니다. 그렇다면 saturation된 상태의 식 또한 사용할 수 있는지 알아보겠습니다. 먼저 전류가 saturation되어 Short channel과 Long channel에 같은 크기의 pinch off 영역이 생겼다고 생각을 한번 해보겠습니다.

 

 위와같이 Long channel과 Short channel에 똑같은 길이의 Pinch off region이 생겼습니다. 매우 황당하게도 Short channel의 채널이 사라져습니다.(L0) 결국 매우 짧은 수nm의 Short channel에선 pinch-off가 일어나 전류가 Saturation되면 Channel을 통해 흐르던 전하가 Pinch off region에서 전기장에 의해 넘어가는 것이 아닌 Source에서 나온 전자가 바로 Pinch off region에서 depletion region의 전기장에 의해 전류가 흐르게 됨을 알 수 있습니다. 더불어 Long channel에 비해 Short channel의 pinch off region의 전기장의 세기가 더 강하게 형성됩니다. 그 이유는 Long channel의 V.D(sat)은 전압분포에 의해 특정한 전압을 가질 것 이지만 Short channel의 V.D(sat)은 Source의 전압과 같으므로 0V이기 때문입니다.

 

Pinch off region의 전기장 식

결국 위와 같이 Pinch off region에서만 전류가 흐르게 된다면 MOSFET의 전류는 Source에서 얼마나 빨리 전하를 신속하게 공급해 줄 수 있느냐에 달려있게 됩니다. Long channel의 saturation current 식은 다음과 같았습니다.

 

위 식은 Pinch-off region에서만 동작하는 short channel의 saturation current를 계산하는데는 절때 쓰일 수 없습니다. 왜냐하면 short channel에선 L이 거의 0이기 때문입니다. 따라서 short channel에서의 saturation current는 다음과 같은 식으로 계산됩니다.

 

Short channel과 Long channel에서의 saturation current식의 가장 큰 차이점은 Long channel에선 Gate 전압의 제곱에 비례하는 식의 형태를 가지지만 Short channel에선 Gate 전압에 선형적으로 변화하는 형태로 바뀐 것과 saturation velocity가 추가되었다는 점 입니다.

 

saturation velocity가 추가 된 이유는 pinch off region의 영향이 Long channel에서보다 훨씬 커졌기떄문입니다. saturation velocity는 전하가 drift되는 속도를 의미하게 되며, 속도가 saturation(포화)되어 constant가 된 이유 다음과 같습니다.

 

결국 위와 같은 이유로 pinch off region을 넘어갈때의 전하의 속도는 일정하게(v.s) 되는 것입니다.

 

이제 short channel에서의 drain전압에 대한 drain전류 그래프를 확인해보겠습니다.

 

위 그래프는 0.1um의 채널길이를 가진 PMOS와 NMOS에 대한 그래프 입니다. 위 그래프를 보고 첫번째로 확인해야할 부분은 바로 Saturation current가 V.G에 따라 linear하게 증가하는지 여부 입니다. 그래프를 확인해보면  V.G가 0.3V씩 증가함에 따라 saturation current도 선형적으로 일정히 증가합니다. 이를 통해 short channel에서 saturation current가 V.G에 비례하는 식의 형태가 맞다는 것을 확인 할 수 있습니다.

 

두번째로 확인할 수 있는 부분은 PMOS에서의 전류가 NMOS에서의 전류보다 훨씬 적다는 것 입니다. 그 이유는 v.s(saturation velocity)의 차이에 있습니다. PMOS에서는 hole에 의해 전류가 흐르므로 NMOS의 electron에 비해 mobility가 훨씬 작습니다. 이에 따라 v.s(saturation velocity)의 차이가 생겨 PMOS에선 NMOS에 비해훨씬 적은 전류가 흐르게됩니다. 이를 통해 short channel의 saturation current가 v.s에 비례함을 확인할 수 있습니다.

 

세번째로 확인할 수 있는 부분은 saturation된 후에도 drain전압에 의해 saturation current가 증가하는 형태로 그려졌다는 것 입니다. 이부분이 상당히 헷갈릴 수도 있습니다. 우리가 구한 short channel에서의 saturation current 식을 보았을 땐 V.D의 항 자체가 존재하지 않기 때문에 위에서 살펴본 두 경우 처럼 직관적으로 확인할 수 없기 때문입니다.

 

위 그래프는 최근에 쓰이고 있는 수 nm정도의 채널의 길이를 가지고 있는 MOSFET이 아닌 short channel의 기준점이 되는 0.1um의 채널길이를 가진 MOSFET입니다. 수nm정도의 채널의 길이를 가지고 있는 MOSFET의 경우엔 pinch-off가 일어난 후 거의 바로 채널이 사라지게 되어 pinch-off region에서만 동작할 것 이지만, 0.1um 정도의 short channel을 가진 MOSFET의 경우엔 pinch-off가 일어난 후에도 channel의 길이가 남아있을 것이며 drain전압을 증가해줌에 따라 pinch-off region이 점점 늘어나면서 채널의 길이가 줄어들어갈 것 입니다. 따라서 L0이 아니므로 Long channel에서의 saturation current 식을 가져와 해석해도 크게 문제는 되지 않습니다.

 

Long channel에서의 saturation current 식을 보면 분모에 채널의 길이 L이 존재하는데, drain 전압이 증가함에 따라 pinch-off region이 늘어나고 채널의 길이 L이 줄어들게 됩니다. 이에따라 saturation current는 조금씩 증가하게 될 것이며 채널의 길이가 더 짧을 수록 이 현상에 대해 더 많은 영향을 받게 될 것은 당연합니다. 이러한 효과를 채널의 길이가 변화한다고하여 Channel Length Modulation(CLM)이라고 합니다. 그렇다면 오로지 pinch-off region에서만 동작하는 Short channel MOSFET의 saturation current는 drain 전압에 의해 증가하지 않는 것 일까요? pinch-off region에서만 동작하더라도 drain 전압에 의해 saturation current는 증가하게 되며 그 이유는 hot electron effect에서 자세히 다루게 될 것 입니다.

지금까지 알아본 Short channel effect들을 간단히 정리해보면 short channel은 pinch-off region에서만 동작할 수 도 있기 때문에 L0이 되어 saturation current식을 다시 세워야하며, 식을 다시 세운 결과 I.D는 V.G의 제곱이 아닌 V.G에 비례하게 됬었습니다. 더불어 pinch-off region에서 동작하므로 pinch-off region의 E-field에 의해 전류가 흐르며 pinch-off region에서의 전기장의 세기는 매우 크므로 이에 따라 모빌리티가 감소하여 전기장에 의해 drift 되는 속도가 일정한 크기로 포화된다고 했습니다. 마지막으로, 채널의 길이가 매우 짧지 않다면 pinch-off region이 생긴 이후에도 어느정도 채널의 길이가 남아있으며 drain전압이 증가함에 따라 채널의 길이가 감소하게 되므로 saturation current는 조금씩 증가하게 되고 이러한 효과를 CLM(Channel Length Modulation)이라 한다고 했습니다. 

 

다음으론 Charge sharing에 대해 알아보겠습니다. Charge sharing은 매우 간단합니다. Long channel 에서는 채널 아래에 생기는 depletion region은 우리가 익히 잘 알고있던 것 처럼 오로지 게이트 전압에 의해 생긴것이라 생각할 수 있었습니다. 그러나 channel의 길이가 줄어들면서 pn접합에서 만드는 depletion region에 대한 영향이 더 커지게 되므로 이를 무시할 수 없게 되고 이에 대한 효과를 Charge sharing이라고 합니다.

 

위와 같이 pn 접합에서 depletion region을 만들어주기 때문에 Maximum depletion region을 형성하기 위해 Oxide에 가해줘야 하는 게이트 전압이 줄어들게 됩니다. 

 

가해줘야하는 게이트 전압이 줄면 좋은것이라 생각할 수 있지만 단점이 더 큽니다. Threshold voltage가 drain 전압에 영향을 받기 때문에 Threshold voltage를 control하기가 힘들어지기 때문입니다. drain 전압이 커진다면 pn접합이 만드는 depletion region이 더 넓어지므로 위 식에서 Q.d이 증가하여 V.T가 감소할 것이먀, drain 전압이 줄어든다면 Q.d이 작아지져 V.T가 증가할 것 입니다.  결론적으로 Short channel에선 pn접합이 만드는 depletion region을 고려해주어야 하기 때문에 V.T가 drain 전압에 영향을 받게 되어 device V.T를 조절하는 것이 어려워지게 됩니다.

 

이를 해결할 방법으로 wire구조를 사용하여 gate로 채널 전체를 감싸 Q.d에 대한 gate 전압의 영향을 늘리는 방법이 연구중에 있습니다.

 

nano wire

다음으론 Hot Electron Effects에 대해 알아보겠습니다. short channel NMOS가 pinch-off 영역에서 동작한다는 것은 매우 강한 전기장의 힘을 받아 전자가 drift하는 것을 의미하게 되며, 전기장이 매우 강하므로 drift 되는 전자는 매우 큰 운동에너지를 가지고 움직이게 되고 이렇게 매우 큰 운동에너지를 가지고 pinch-off 영역에서 움직이는 전자를 Hot Electron이라 합니다.

 

전자가 매우 큰 에너지를 가지고 움직임에 따라 다양한 효과들이 발생하게 되는데 이에 대해 알아보겠습니다.

 

전기장의 세기가 매우 강하므로 전자는 매우 큰 운동에너지를 가지고 drift됩니다. 이에 따라 몇몇 전자들은 큰 운동에너지를 이용하여 Oxide의 장벽(약 3.1eV)를 뛰어넘어 metal로 흘러버리게 됩니다. 이에 따라 gate에 흐르는 전류인 gate leakage current가 증가하게 되고 gate에 흐르는 전류가 증가하므로 이에 따라 MOSFET의 input impedance가 감소하게 되어 FET의 기능을 제대로 수행 할 수 없게됩니다.

 

 

큰 운동에너지를 가지고 있는 전자가 Oxide의 장벽은 뛰어넘었지만 Oxide를 끝까지 통과하지 못하고 Oxide의 내부에 남아 fixed oxide charge를 만들어버릴 수도 있습니다. Oxide interface charge는 양전하뿐이였으나 전자가 포획되므로 전체적인 Q.i는 감소하게 됩니다. Flat band voltage의 Q.i항이 감소하게 되므로 Flatband voltage가 증가하게 됩니다. Flatband voltage가 증가하므로 Threshold voltage도 이에 따라 증가하게 될 것 입니다.

 

 

전자가 큰 운동에너지를 가지고 실리콘과 Oxide interface의 결합을 파괴시켜 interface state를 만들어낼 수 있습니다. interface state이 증가하게 되면 C.it가 증가하게 되는데 이로인해 SubThreshold voltage S가 증가하게 됩니다. 이로인해 결국 Threshold voltage가 증가하게 됩니다.

 

마지막으로 강한 운동에너지를 가지고 drift되는 전자가 Pinch-off region 내의 실리콘 원자와 부딪혀 실리콘 원자가 이온화되는 impact ionization이 발생할 수 있습니다. impact ionization이 발생되면 전자와 정공이 pair로 만들어지게 되며 만들어진 전자는 E-field에 의해 마찬가지로 강한 운동에너지를 가지고 drift될 것이며 똑같이 impact ionization을 발생시킬수 있습니다. 이와 같은 과정이 반복되다보면 기하급수적으로 EHP가 생성될 것이며 이에 따라 drain current가 커지게 됩니다. 이것이 바로 pinch-off region에서만 동작할 때도 saturation current가 drain 전압에 의해 증가하는 요인이 되며 CLM과 같은 역할을 해준다고 볼 수 있습니다.

 

그렇다면 hole은 어디로 갈까요? hole은 gate 전압의 영향을 받아 body 쪽으로 향하게 되며 이를 substrate current라 합니다. substrate current는 매우 작지만 수많은 FET들이 모여있는 회로 입장에선 무시할 수 없을만큼 큰 값을가지게 되며 회로의 noise가 됩니다. 그러나 Gate에 더 강한 전압을 걸어준다면 어느정도 substrate current 값을 줄일 수 있습니다. 왜냐하면 hot electron에 대한 효과는 기본적으로 전류가 saturation되어 pinch-off region에서 전자가 흐를때 발생되는 것인데 고정 된 drain전압에 대해 Gate전압을 증가시키면 saturation이 아닌 linear 영역에서 MOS이 동작하기 때문입니다

 

다음으론 Drain-Included Barrier Lowering(DIBL)에 대해 간단히 알아보겠습니다. DIBL은 drain의 전압이 Source 부분의 barrier까지 낮춰버려 Threshold voltage V.T가 drain 전압에 의해 control 되는 현상을 말합니다.

 

같은 drain전압을 가해주었을 때 Long channel과 Short channel의 energy band diagram을 비교해 보면, Source 쪽의 barrier 높이가 감소하게 됨을 확인할 수 있습니다. 채널이 감소함에 따라 채널의 전압분포 기울기가 커지므로 Source 쪽의 barrier가 더 감소하게 됨은 당연합니다. Source 쪽의 barrier 높이가 감소했다는 것은 채널에 전류를 흘려주기 위한 전압인 Threshold voltage가 감소했다는 것을 의미합니다. 결국 drain 전압에 의해 Threshold voltage V.T가 control 되어 버리는 것 입니다. 이렇게 drain전압에 의해 Source barrier의 높이가 감소함에 따라 V.T가 drain에 의해 control 되는 현상을 Drain-Included Barrier Lowering(DIBL)이라고 합니다.

지금까지 배운 거의 모든 Short channel effects들의 원인은 Channel의 길이가 감소함에 따라 전기장의 세기가 강해지는 것에 있다는 것을 알 수 있었습니다. 방금 직전에 알아본 DIBL의 경우에도 채널의 길이가 짧아짐에 따라 각각의 위치의 전압분포의 기울기가 커지고 이에 따라 전기장의 세기가 증가하여 Source의 barrier가 감소하였으며, hot electron effect 또한 줄어든 채널길이에 따라 E-field의 세기가 커져 전자가 큰 운동에너지를 가지고 drift됨에 따라 발생하였습니다. Long channel에서는 이전에 자세히 알아보았던 Gradual Channel Approximation을 이용하여 drain 전압에 의한 전기장의 세기를 무시할 수 있었으나 short channel 에서는 이를 무시할 수 없습니다. 

 

그렇다면 short channel에서도 이전처럼 정상적으로 device를 동작시켜주기 위해선 어떻게 해야할까요? 채널의 길이가 줄어들어도 전기장의 세기를 constant하게 유지시켜주면 될 것 입니다. 이것을 MOSFET Scaling이라고 하며 MOSFET Scaling의 목적은 말했다시피 Short channel effect를 줄이기 위해 채널의 길이가 줄어듬에 따라 증가하는 전기장의 세기를 전기장의 세기를 일정하게 유지시켜주는 것 입니다. 

 

그렇다면 이번 포스팅의 마지막으로 채널의 길이가 줄어들고 이에따라 전기장의 세기를 일정하게 유지시켜주려면 MOSFET의 값들을 어떻게 Scaling 해주어야 될지에 대해 알아보겠습니다.

 

device의 크기를 전체적으로 k만큼 줄이고 Electric field를 constant하게 유지시켜 주기 위해서 Scaling 되어야 하는 각각의 양들에 대한 표는 위와 같습니다.

 

먼저 device의 크기가 전체적으로 k만큼 줄어들기 때문에 Device의 dimension에 관련된 모든 값들은 k만큼 줄게 됩니다. Electric field가 constant함에 따라 Carrier velocity도 constant가 되는 것은 mobility는 물질에 따라 고정된 상수값이므로 당연한 결과입니다.(vE)

 

그렇다면 나머지 값들에 대해 번호를 붙힌 순서대로 왜 위의 표와 같이 Scaling 되어야 하는지에 대해 알아보겠습니다.

 

Electric field와 depletion region의 관계식은 다음과 같습니다.

 

위 식을 통해 drain 전압과 depletion region의 폭은 같은 양만큼 scaling 되어야 한다는 것을 알 수 있습니다.  MOSFET의 전체 size가 줄어듬에 따라 depletion region의 폭 또한 k배 만큼 scaling되어 줄어듬으로 전압 또한 k배 만큼 scaling 되어 줄어들게 됩니다.

 

다음으론 depletion region 폭인 W의 식을 가져와보겠습니다.

 

위 식을 통해 depletion region의 폭과 drain 전압은 같은 양만큼 scaling, 도핑 레벨은 그 양의 역수로 scaling 되어야 함을 알 수 있습니다. 이에 따라 도핑농도는 1/k배 만큼 scaling 되어 커지게 됩니다.

 

커패시턴스는 단면적 A에 비례하고 폭 d와 반비례하므로 이는 k배만큼 scaling된 두 dimension값의 곱에 k배만큼 scaling된 하나의 값을 나눈 것이므로 커패시턴스는 k만큼 scaling 되어 작아집니다.

 

 

drift current는 단면적과 농도에 비례하므로 k만큼 scaling 되어 작아집니다.

 

device의 density는 면적과 반비례하므로 1/k의 제곱만큼 scaling 되어 커지게 되며 Power density는 device density에 VI(전압(k)전류(k))를 곱한 값 이므로 constant 합니다. device의 power는 VI이므로 k의 제곱만큼 scaling 되며 나머지 9번 10번도 지금까지 구한 결과들을 이용하면 위의 표와 같이 정리됩니다. 

 

MOSFET Scaling에서 가장 중요한 결론은 전압이 k배 scaling되어 줄어들어야 한다는 것입니다. 하지만 전압을 k배 만큼 줄이는데는 한계가 있는데 그 이유는 Threshold voltage 때문입니다. 전압이 k배 만큼 준다는 것은 Threshold voltage가 줄어든다는 것 인데 우리는 Subthreshold voltage S는 가장 이상적인 경우에 60mV의 값을 가지며 Threshold voltage V.T는 적어도 5S 만큼의 전압을 가져야 하니 최소한 0.3V 이상의 전압을 가져야 한다는 것을 잘 알고 있습니다. 결론적으로 Short channel effect를 줄이기 위해선 위의 표와 같이 scaling을 해야하나 전압의 경우엔 Threshold voltage를 많이 줄일 수 없습니다. 따라서 전압을 k배 만큼 scaling을 해줄 수 없어 완벽하게 Short channel effect를 control할 수는 없게되고 Short channel effect는 어쩔 수 없이 생길 수 밖에 없다는 결론을 얻게 됩니다.

[출처] Short channel MOSFET|작성자 장용희