서브트레쉬 홀드 컨디션의 모스펫

실제 MOSFET에 흐르는 전류의 그래프를 그려보면 게이트의 전압이 채널이 형성되기 시작하는 전압인 Threshold voltage에 도달하기 이전에도 전류가 흐른다는 것을 이전 포스팅에서 확인해 보았습니다. 그렇다면 어떻게 Threshold voltage를 가해주기 이전에 전류가 흐를 수 있는지에 대해 알아보겠습니다.

 

 

Flat band를 가지며 drain에 전압이 가해지지 않은 상태의 source-body-drain을 따라 그린 energy diagram입니다. source와 body, Drain과 body사이의 2개의 pn 접합이 존재하는 것을 확인할 수 있습니다. 기억을 조금만 되돌려보면 p형 반도체와 n형 반도체가 접합하게 되면 diffusion이 일어나며 depletion region이 생겨나게 되고 depletion region 내부의 전기장의 세기가 diffusion을 하려는 힘과 평형일 이룰 때 diffusion이 끝나며 depletion region도 더이상 늘어나지 않습니다.

 

 Gate에 양전압을 가해주면 위와 같이 p형 반도체 부분의 band가 아래로 내려오게 됩니다. band가 아래로 내려오는 이유는 MOS capacitor에서 배웠듯 복잡하게 생각하지 않고 매우 간단하게 설명해보면, Gate에 양전압이 걸려있고 Gate아래의 p형 반도체 부분에도 이 전압이 걸릴텐데 p형반도체에 양전압이 걸리는 것은 forward bias이므로 에너지준위가 낮아져야하기 때문에 아래로 내려오는 것이라 생각해볼 수 있습니다. 결국 band가 내려오며 band의 기울기가 줄어들었습니다. band의 기울기는 전기장의 세기를 의미하며 위 그래프에서 기울기가 존재하는 부분은 depletion region입니다. 기울기가 이전보다 더 감소하였으므로 게이트에 양전압이 가해짐에 따라 depletion region의 전기장의 세기가 줄어들었습니다.  depletion region의 전기장의 세기와 diffusion을 하려는 힘이 평형을 이루고 있던 상황에서 Gate에 걸린 양전압이 depletion region의 전기장의 세기를 감소시켜 평형을 깨버린 것 입니다. 결국 diffusion current가 발생하게 됩니다. 위 상황은 V.FB-Q.d/C.i 이상의 게이트 전압이 가해지고 있으며 V.T보다는 작은 전압이므로 maximum depletion region은 형성되었으나 아직 채널이 형성되지는 않은 weak inversion 상태입니다. 결국 Threshold voltage가 가해지기 이전의 영역인 SubThreshold 영역에선 diffusion current가 흘러버리는 것을 확인 할 수 있습니다.

 

Subthreshold region에 흐르는 전류인 diffusion current는 매우 작기 때문에 더 많은 정보를 얻어내기 위해서 전류를 log scale로 그린 게이트전압-전류 그래프 입니다. 위 그래프에서 가장 중요하게 얻을 수 있는 정보는 바로 Subthreshold voltage S입니다. S는 얼마만큼의 게이트 전압을 가해주어야 전류가 10배 증가하는지를 나타내주는 양이며 위 그래프에서 Threshold voltage 이전의 Subthreshold region에서 log(I.D)가 linear하게 증가 할 때의 기울기의 역수를 나타냅니다.

 

S가 왜 중요한지에 대해 먼저 알아보겠습니다. S에 대해 다시한번 설명하면, Subthreshold voltage S는 얼마만큼의 게이트 전압을 가해주어야 전류가 10배 증가하는지를 나타내주는 양이며 Subthreshold region에서만 성립하는 개념입니다.  S가 작다면 S는 기울기의 역수이므로 그래프의 기울기는 더 크며 더 적은 게이트 전압을 가지고 더 많은 전류를 흘려줄 수 있게 됩니다. 일반적으로 적절한 회로 동작을 위해선 다음과 같은 조건이 요구됩니다.

 

위 조건을 이용하여 S와 Threshold voltage V.T의 관계를 유도해 낸 결과는 다음과 같습니다.

 

On Current를 만드는데 필요한 전압은 Threshold voltage이며, Off current를 10의 5승배 해주는데 필요한 전압은 5S이므로 위와 같은 관계식을 얻을 수 있습니다. 결국 S값이 작아야 Threshold voltage도 작아진다는 것을 확인 할 수 있습니다. 예를들어 만약 스마트폰의 S값이 70mV/decade에서 1mV/decade로 줄어든다면 우리는 한달동안 스마트폰을 충전할 필요가 없어질 것입니다. 그만큼 Threshold voltage는 작아질 수록 좋으며 Threshold voltage가 작은 값을 가지기 위해선 S값이 기본적으로 작아야 하므로 Subthreshold voltage S가 중요한 것 입니다.

 

그렇다면 이제 S의 식을 유도해보겠습니다. S는 Subthreshold region 그래프의 기울기의 역수이므로 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

Subthreshold voltage

 

먼저 S는 Gate전압이 매우 낮은 Subthreshold region에서만 성립하므로 게이트가 매우 낮은 Subthreshold region에서 성립되는 CSM(charge sheet model)의 전류식을 이용해야 합니다. 해당 식은 다음과 같습니다.

 

위 식에서 V.D값이 적어도 3kT/q보다 크다면 exponential항은 거의 0이 되어 다음과 같이 근사화됩니다.

 

이제 양변에 ln을 취해주겠습니다.

 

위 식에서 c.r 값은 capacitor divide ratio로써 전체 게이트전압 중 반도체 표면에 얼마나 많은 게이트 전압이 걸리는지를 나타내 주는 비 입니다.

 

이를 이용하여 식을 다시 정리해준 결과는 다음과 같습니다.

 

 

지금 우리는 Subthreshold region에서 문제를 해석해나가고 있습니다. 따라서 위 결과식 우변의 2번째 항에서 반도체 표면에 걸리는 전압 .s는 게이트 전압에 따라 거의 변하지 않으므로 무시할 수 있습니다.

 

 

좌변의 ln I.D를 log형태로 바꿔준 후, 양변에 d/dV.G를 곱해준 후 쭉 계산한 결과는 다음과 같습니다.

 

결국 S의 식을 위와 같이 구할 수 있으며 S는 C.i값과 반비례하고 C.d, C.it값과 비례하는 형태의 식을 가진다는 것을 확인 할 수 있습니다.

 

S값이 작아지면 V.T도 작아질 수 있다는 것을 위 식을 통해 직접확인해 볼 수도 있습니다. depletion region의 커패시턴스는 depletion region의 전하량과 비례하며(Q.dC.d.s) interface state charge Q.i또한 C.it의 영향을 받기 때문에 S가 커지면 V.T도 커지며 S가 작아지면 V.T도 작아질 수 있습니다. 

 

가장 이상적인 경우를 따져보면 C.it가 0이고 C.i가 무한대인 상황일 것 입니다. T300K일 때 S의 가장 이상적인 값을 구해보면 다음과 같습니다.

 

결론적으로 MOSFET에서의 Threshold voltage가 가질 수 있는 가장 낮은 값은 다음과 같을 것 입니다.

 

지금까지 한 내용을 간단히 정리하면, S값은 게이트에 전압을 가했을 때 전류가 얼마나 많이 증가하는지를 나타내주는 지표이며, S값이 작아야 Threshold voltage도 작아질 수 있다는 것 입니다.

 

 

지금 까지는 모든 이론을 long channel을 기준으로 풀어서 해석해나갔습니다. 이번 포스팅은 여기에서 마치고 다음 포스팅에선 채널이 매우 짧아지면(Short channel) 어떠한 효과들이 생기는지에 대해 자세히 알아보도록 하겠습니다.